Limite et continuité
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PROPOSITION 9.6 Soient (E, 11 · ll E) un OC-espace vectoriel normé, (F, 11 · llF )
une OC-algèbre normée, D un sous-ensemble de E et fi et h deux applications
de D dans F. Si fi et h admettent pour limite respective i1 et i 2 en xo E D,
alors l'application x E E 1--- -> fi (x) x h (x) E F admet une limite en xo ED
qui est i1 x i 2 .
Démonstration Pour tout x E D, en utilisant les propriétés de la norme
d'algèbre, on obtient :
ll fi (x) x h(x) - i1 x R 2 llF = ll fi (x) x (f2(x) - i 2 ) + i 2 x (f1 (x) - R) llF
:::; ; ll fi (x) llF llh (x) - R 2 llF + llR2 llF ll fi (x) - i llF·
Par ailleurs, ll fi (x) llF = ll (f1 (x) - Ri)+ R1 llF :::; ; ll fi (x) - f1 llF + llR 1 llF· En
combinant ces deux majorations, on obtient :
0 :::; ; ll fi (x) x h(x) - i1 x R 2 llF :::; ; ll fi (x) - R1 llF llh (x) - R 2 llF
+ lll2 llF ll fi (x) - i1 llF + lll 1 llF llf2 (x) - i 2 llF· (6)
Supposons que i1 -:/:- 0 et que i 2 -:/:- O. Pour montrer que fi x h admet pour
limite f 1 x i 2 en xo, il faut montrer que :
Considérons un réel strictement positif é; Comme fi admet pour limite i1
en xo, on a
é
(llx - xo ll E :::; ; 'f/ 1 ====? ll fi (x) - f1 llF :::; ; 3 llR2 llF )
(llx - xo ll E :::; ; 17 2 ====? ll fi (x) - R1 llF :::; ; ..µ}3) .
Et comme h admet pour limite i 2 en xo, on a
é
(llx - xo ll E :::; ; 'f/3 ====? llh (x) - R 2 llF :::; ; 3 llli llF )
(llx - xo ll E :::; ; 'f/ 4 ====? llh (x) - f 2 llF :::; ; ..µ}3) .
Posons 1J = min{ 'f/1 , 'f/2 , 7]3, 7]4} et prenons XE B(xo, ry) n D. D'après la majoration (6), on déduit des assertions précédentes que
On a donc établi que pour tout réel strictement positif é, il existait un réel
strictement positif 'f/ tel que pour tout réel x E D,
D'après la définition 9.1, cela signifie que la fonction fi x h admet pour limite
i1 x € 2 en x0. Pour démontrer le résultat, dans le cas où i1 ou i 2 est nul, il est
nécessaire d'adapter légèrement la démonstration précédente en ne considérant
que les majorations utiles.
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