Algèbre bilinéaire
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b) Trouver un vecteur f1 de R n de norme égale à 1 et tel que q(f1) =O.
c)
En déduire par récurrence sur la dimension n qu'il existe une base orthonormée {fi}i E { l ,. . .,n} de R n telle que
Vi E {l,2, ... ,n} q(fi) =O.
Exercice 8.12 Projection sur un convexe fermé
Soit ( E, (-, ·)) un espace préhilbertien complet. On note Il · Il la norme associée
au produit scalaire (-, ·). Soit Kun sous-ensemble convexe <115> fermé non vide
de E. L'objectif de cet exercice est de montrer le résultat suivant :
Vf E E 3!u E K !I f - u ll = inf ll f - wll·
wEK
(30)
1 - Dans le cas où E = R 2 est muni du produit scalaire canonique, illustrer à
l'aide d'un dessin la propriété (30). On pourra prendre, par exemple, pour K
une boule fermée du plan et pour f un point extérieur à cette boule.
2 - Montrer que
V(x, y) E E 2 ll x + Yll 2 + !l x - Yll 2 = 2 (llxll 2 + llYll 2 ) ·
(31)
3 - La propriété (31) a pour nom identité du parallélogramme. En considérant le cas où E = R 2 est muni du produit scalaire canonique, justifier cette
terminologie.
4 - On désigne par f un élément quelconque de E et on considère une suite
(116)
(wn)n telle que
"ln E. N Wn E K et
lim ll f - wn ll = inf ll f - wll·
n � + oo
wEK
a) En utilisant l'identité du parallélogramme, montrer que pour tout
(p, q) E N 2 on a
2 (l l f - �(wp + wq ) ll
2
+ Il �(wp - wq) Ji 2 ) = ll f - wv ll 2 + ll f - wqll 2 ·
b) En déduire que la suite (wn)n est une suite de Cauchy.
c) En déduire qu'il existe u E K tel que
ll f - u ll = inf !I f - wll·
wEK
(32)
(115)
•
•
•
Rappelons qu'un sous-ensemble K d'un espace vectoriel est dit convexe s1 pour tout
(x, y) E K2 on a l'inclusion {(1 - t)x + ty, t E [O, 1]} C K . En particulier, si K est
convexe et si x et y sont dans K alors � est aussi dans K .
(ll 6) Par définition de la borne inférieure, une telle suite existe. On ne demande pas de le
démontrer.