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Isométries et matrices orthogonales
En choisissant pour Y le i-ème vecteur ei de la base canonique de !R n , on
établit que la i-ème colonne de la matrice carrée t uu est égale au vecteur ei.
Autrement dit, t uu est égale à la matrice identité :
t uu = Id.
On vient ainsi de montrer que toute matrice orthogonale U est une matrice inversible et que sa matrice inverse u- 1 n'est autre que sa matrice transposée t u.
La proposition suivante montre que cette propriété caractérise les matrices orthogonales.
PROPOSITION 8.25 Pour U E M n (IR) les assertions suivantes sont équivalentes :
(1) la matrice U est .une matrice orthogonale ;
(2) la matrice u est inversible et u- 1 = t u;
(3) les colonnes {resp. les lignes) de la matrice U forment une base orthonormée pour le produit scalaire canonique de !R n .
Démonstration L'implication (1 ) =} (2) a été justifiée en préambule. Nous
allons montrer successivement que (2) implique (3) puis que (3) implique (1)
ce qui établira les équivalences par transitivité.
On considère sur !R n le produit scalaire canonique que l'on note ( . , · ) et on
désigne par ( e1 , ... , e n ) la base canonique de !R n . Cette base est orthonormée
pour le produit scalaire canonique, i.e. (ei, e j ) = 0 si i =j:. jet (ei, ei) = 1.
� Supposons que l'assertion (2) soit vraie, c'est-à-dire supposons que la matrice U est inversible et u- 1 = t u. On a en particulier t uu = Id. Les colonnes
de la matrice U sont les vecteurs Uei où les ei correspondent aux vecteurs de
la base canonique de !R n . En utilisant la proposition 8.24, on obtient
On en déduit que la famille {Ue1 , ... , Uen} est aussi une famille orthonormée
t
,
t (86)
' t f ·11 l'b p . (8 î )
d' 1 , 1
e par consequen que c es une ami e l re. msque son car ma est ega
à la dimension de l'espace !R n , c'est une base de l'espace vectoriel !R n . Ainsi,
les colonnes de la matrice U forment une base orthonormale de !R n . Le même
raisonnement avec la matrice t u à la place de U montre que les lignes de U
forment aussi une base orthonormale de !R n . On a donc établit que (2) =} (3).
� Supposons que l'assertion (3) soit vraie. Pour montrer que la matrice U
est une matrice orthogonale, d'après la proposition 8.21, on peut montrer que
<86l Voir la proposition 8.9 p. 460.
<87 ) Voir la proposition 8.11 p.
' 330 du Cours de première a.nnée.
Isométries et matrices orthogonales
En choisissant pour Y le i-ème vecteur ei de la base canonique de !R n , on
établit que la i-ème colonne de la matrice carrée t uu est égale au vecteur ei.
Autrement dit, t uu est égale à la matrice identité :
t uu = Id.
On vient ainsi de montrer que toute matrice orthogonale U est une matrice inversible et que sa matrice inverse u- 1 n'est autre que sa matrice transposée t u.
La proposition suivante montre que cette propriété caractérise les matrices orthogonales.
PROPOSITION 8.25 Pour U E M n (IR) les assertions suivantes sont équivalentes :
(1) la matrice U est .une matrice orthogonale ;
(2) la matrice u est inversible et u- 1 = t u;
(3) les colonnes {resp. les lignes) de la matrice U forment une base orthonormée pour le produit scalaire canonique de !R n .
Démonstration L'implication (1 ) =} (2) a été justifiée en préambule. Nous
allons montrer successivement que (2) implique (3) puis que (3) implique (1)
ce qui établira les équivalences par transitivité.
On considère sur !R n le produit scalaire canonique que l'on note ( . , · ) et on
désigne par ( e1 , ... , e n ) la base canonique de !R n . Cette base est orthonormée
pour le produit scalaire canonique, i.e. (ei, e j ) = 0 si i =j:. jet (ei, ei) = 1.
� Supposons que l'assertion (2) soit vraie, c'est-à-dire supposons que la matrice U est inversible et u- 1 = t u. On a en particulier t uu = Id. Les colonnes
de la matrice U sont les vecteurs Uei où les ei correspondent aux vecteurs de
la base canonique de !R n . En utilisant la proposition 8.24, on obtient
On en déduit que la famille {Ue1 , ... , Uen} est aussi une famille orthonormée
t
,
t (86)
' t f ·11 l'b p . (8 î )
d' 1 , 1
e par consequen que c es une ami e l re. msque son car ma est ega
à la dimension de l'espace !R n , c'est une base de l'espace vectoriel !R n . Ainsi,
les colonnes de la matrice U forment une base orthonormale de !R n . Le même
raisonnement avec la matrice t u à la place de U montre que les lignes de U
forment aussi une base orthonormale de !R n . On a donc établit que (2) =} (3).
� Supposons que l'assertion (3) soit vraie. Pour montrer que la matrice U
est une matrice orthogonale, d'après la proposition 8.21, on peut montrer que
<86l Voir la proposition 8.9 p. 460.
<87 ) Voir la proposition 8.11 p.
' 330 du Cours de première a.nnée.