Algèbre bilinéaire
491
Ainsi, on obtient
(u(x), u(y)) = 1(11x + Yll 2 - llx - Yll 2 ).
La formule de polarisation ' 1 6> permet de conclure que (u(x), u(y)) = (x, y) . D
Remarque L'ensemble des isométries d'un espace euclidien E est un groupe <77> ,
plus précisément c'est un sous-groupe du groupe des isomorphismes de E muni
de la loi de composition des endomorphisme (GL(E), o ). Le groupe des isométries est noté O(E).
o
En dimension finie, une autre manière de caractériser les isométries est de
considérer leur action sur une base orthonormale. On a le résultat suivant.
PROPOSITION 8.22 Soient E un espace euclidien de dimension finie n et
(ei, ... , en) une base orthonormale de E. Un endomorphisme u de E est
une isométrie si et seulement si (u(e1), ... , u(en)) est une base orthonormale
de E.
Démonstration !::'. Supposons que l'endomorphisme u soit une isométrie et
considérons une base orthonormale (ei, ... , en) de E. D'après la définition 8.17,
pour tout (i,j) E {1, . . .,n} 2 avec i =/:- j on a (u(ei),u(e j )) = (ei, e j ) = 0 et
pour tout i E {1, ... , n} on a ll u(ei) ll = ll ei ll = 1. On en déduit que la famille
{u(e1), ... , u(en)} est orthonormale. Puisque toute famille orthonormale est
libre <78> , la famille {u(e1), ... , u(en)} est libre. Étant donné que le cardinal de
cette famille est égale à la dimension de E, on en déduit ' 1 0 > que cette famille
est une base de E.
!::'. Réciproquement, supposons que les familles { e1 , ... , en} et { u(e1), ... , u(en)}
soient deux bases orthonormales. Pour montrer que l'endomorphisme u est une
isométrie, il sù ffit d'après la proposition 8.21 de montrer que l'application u
conserve la norme. Considérons un vecteur x de E dont la décomposition dans
la base (e1 , ... , en) est x = L:� 1 Xiei. L'application u étant linéaire, on a
n
n
i=l
i=l
Cette dernière égalité donne la décomposition du vecteur u(x) dans la base
(u(e1), ... , u(en)). Les bases considérées étant toutes les deux orthonormées,
on ac s o> ll xll = L:� 1 xr et ll u(x) ll = L:� 1 xr ce qui permet de conclure que
ll u(x) ll = ll x ll·
D
< 1 6> c 'd' - tt c • ·
b
ons1 eree ce e 101s-c1 avec a = x et = y
' 11 ) Voir la définition 2.34 p. 61 du Cours de première année.
<7 5 > Voir la proposition 8.9 p. 460.
<79> Voir la proposition 8.12 p. 330 du Cours de première année.
(80) Voir la remarque de la p. 489.
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Ainsi, on obtient
(u(x), u(y)) = 1(11x + Yll 2 - llx - Yll 2 ).
La formule de polarisation ' 1 6> permet de conclure que (u(x), u(y)) = (x, y) . D
Remarque L'ensemble des isométries d'un espace euclidien E est un groupe <77> ,
plus précisément c'est un sous-groupe du groupe des isomorphismes de E muni
de la loi de composition des endomorphisme (GL(E), o ). Le groupe des isométries est noté O(E).
o
En dimension finie, une autre manière de caractériser les isométries est de
considérer leur action sur une base orthonormale. On a le résultat suivant.
PROPOSITION 8.22 Soient E un espace euclidien de dimension finie n et
(ei, ... , en) une base orthonormale de E. Un endomorphisme u de E est
une isométrie si et seulement si (u(e1), ... , u(en)) est une base orthonormale
de E.
Démonstration !::'. Supposons que l'endomorphisme u soit une isométrie et
considérons une base orthonormale (ei, ... , en) de E. D'après la définition 8.17,
pour tout (i,j) E {1, . . .,n} 2 avec i =/:- j on a (u(ei),u(e j )) = (ei, e j ) = 0 et
pour tout i E {1, ... , n} on a ll u(ei) ll = ll ei ll = 1. On en déduit que la famille
{u(e1), ... , u(en)} est orthonormale. Puisque toute famille orthonormale est
libre <78> , la famille {u(e1), ... , u(en)} est libre. Étant donné que le cardinal de
cette famille est égale à la dimension de E, on en déduit ' 1 0 > que cette famille
est une base de E.
!::'. Réciproquement, supposons que les familles { e1 , ... , en} et { u(e1), ... , u(en)}
soient deux bases orthonormales. Pour montrer que l'endomorphisme u est une
isométrie, il sù ffit d'après la proposition 8.21 de montrer que l'application u
conserve la norme. Considérons un vecteur x de E dont la décomposition dans
la base (e1 , ... , en) est x = L:� 1 Xiei. L'application u étant linéaire, on a
n
n
i=l
i=l
Cette dernière égalité donne la décomposition du vecteur u(x) dans la base
(u(e1), ... , u(en)). Les bases considérées étant toutes les deux orthonormées,
on ac s o> ll xll = L:� 1 xr et ll u(x) ll = L:� 1 xr ce qui permet de conclure que
ll u(x) ll = ll x ll·
D
< 1 6> c 'd' - tt c • ·
b
ons1 eree ce e 101s-c1 avec a = x et = y
' 11 ) Voir la définition 2.34 p. 61 du Cours de première année.
<7 5 > Voir la proposition 8.9 p. 460.
<79> Voir la proposition 8.12 p. 330 du Cours de première année.
(80) Voir la remarque de la p. 489.