Algèbre bilinéaire
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et on obtient E1 = 1, E 2 =X - � et E 3 = X 2 - ! - (X - �) = X 2 - X + ! ·
Si on souhaite obtenir une base orthonormée, il suffit de diviser chaque vecteur
de la base orthogonale (E1 , E 2 , E 3) par sa norme pour le produit scalaire utilisé :
On obtient ainsi la base orthonormale (f1 , f 2 , f3) où :
f1 = 1, f 2 = 2J3 (X - �) et f3 = 3 /W (X 2 - X +!).
Remarque Considérons une base orthonormale (E1 ,E 2 , ... ,En) d'un espace
vectoriel E de dimension n. Pour tous x, y E E de composantes (x1 , ... , xn) et
(y1 , ... , Yn) dans la base (E1 , E 2 , ... , Ep), on a
n
n
i=l
j=l
n n
i=l j=l
n
(Ei,E j ) = L XiYi
'"-v---'
i= 1
= o;i
et ll x ll 2 = L� =l xr. En terme matriciel, on a (x, y) = txy et ll x ll 2 = txx, X
et Y étant les matrices colonnes ayant pour coefficients les composantes de x
et y dans une base orthonormale de E.
Ainsi, dans un espace euclidien de dimension n muni d'une base orthonormale,
tout se passe comme dans l'espace euclidien !R n muni du produit scalaire canonique.
Exercice 8.6 Considérons l'espace vectoriel E = C([O, n] , IR) des applications continues de [O, n] à valeurs dans IR, muni du produit scalaire défini
pour tout (f, g) E E 2 par (f,g) = f011: f(t)g(t) dt. Désignons par li · li la
norme associée au produit scalaire.
1 - Que valent Il sin Il , Il cos Il et llidll où sin et cos désignent les applications
sinus et cosinus et où id : t E [O, n] � t E IR est l'application identité?
2 - On note F le sous-espace vectoriel de E engendré par les applications
sin, cos et id. Montrer que les trois applications sin, cos et id ne sont pas
liées et en déduire que F est un espace vectoriel réel de dimension 3, dont
une base est donnée par B = (sin, cos, id).
3 - Quelle est la matrice de l'application bilinéaire (-, - ) dans cette base?
4 - Soit G le sous-espace vectoriel de E engendré par les applications sin et
cos. Montrer que G est un espace vectoriel réel de dimension 2.
5 - Construire une base orthonormale Bo = ( e1 , e 2 , e 3) (pour le produit
scalaire (-, - ) ) de l'espace vectoriel F telle que la famille { e1 , e 2 } soit une
base orthonormale de l'espace vectoriel G.
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et on obtient E1 = 1, E 2 =X - � et E 3 = X 2 - ! - (X - �) = X 2 - X + ! ·
Si on souhaite obtenir une base orthonormée, il suffit de diviser chaque vecteur
de la base orthogonale (E1 , E 2 , E 3) par sa norme pour le produit scalaire utilisé :
On obtient ainsi la base orthonormale (f1 , f 2 , f3) où :
f1 = 1, f 2 = 2J3 (X - �) et f3 = 3 /W (X 2 - X +!).
Remarque Considérons une base orthonormale (E1 ,E 2 , ... ,En) d'un espace
vectoriel E de dimension n. Pour tous x, y E E de composantes (x1 , ... , xn) et
(y1 , ... , Yn) dans la base (E1 , E 2 , ... , Ep), on a
n
n
i=l
j=l
n n
i=l j=l
n
(Ei,E j ) = L XiYi
'"-v---'
i= 1
= o;i
et ll x ll 2 = L� =l xr. En terme matriciel, on a (x, y) = txy et ll x ll 2 = txx, X
et Y étant les matrices colonnes ayant pour coefficients les composantes de x
et y dans une base orthonormale de E.
Ainsi, dans un espace euclidien de dimension n muni d'une base orthonormale,
tout se passe comme dans l'espace euclidien !R n muni du produit scalaire canonique.
Exercice 8.6 Considérons l'espace vectoriel E = C([O, n] , IR) des applications continues de [O, n] à valeurs dans IR, muni du produit scalaire défini
pour tout (f, g) E E 2 par (f,g) = f011: f(t)g(t) dt. Désignons par li · li la
norme associée au produit scalaire.
1 - Que valent Il sin Il , Il cos Il et llidll où sin et cos désignent les applications
sinus et cosinus et où id : t E [O, n] � t E IR est l'application identité?
2 - On note F le sous-espace vectoriel de E engendré par les applications
sin, cos et id. Montrer que les trois applications sin, cos et id ne sont pas
liées et en déduire que F est un espace vectoriel réel de dimension 3, dont
une base est donnée par B = (sin, cos, id).
3 - Quelle est la matrice de l'application bilinéaire (-, - ) dans cette base?
4 - Soit G le sous-espace vectoriel de E engendré par les applications sin et
cos. Montrer que G est un espace vectoriel réel de dimension 2.
5 - Construire une base orthonormale Bo = ( e1 , e 2 , e 3) (pour le produit
scalaire (-, - ) ) de l'espace vectoriel F telle que la famille { e1 , e 2 } soit une
base orthonormale de l'espace vectoriel G.