Algèbre bilinéaire
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Cas de la dimension finie
Dans le cas où l'on considère un IR-espace vectoriel de dimension finie, certaines
familles de vecteurs jouent un rôle particulier : ce sont les bases.
DÉFINITION 8.12 Soient E un IR-espace vectoriel de dimension finie et q une
forme quadratique sur E. On dit qu 'une base B de E est q-orthogonale (resp.
q-orthonormale) si la famille B est q-orthogonale (resp. q-orthonormale).
Si on dispose d'une base B = (e1,e 2 ,. . .,en) de E qui est q-orthonormale
alors on peut facilement déterminer la matrice de la forme quadratique q dans
cette base : par définition, cette matrice est celle de la forme polaire cp0 associée à la forme quadratique q. Les coefficients de cette matrice sont donc les
réels cpo (ei, e j ). Puisque la famille { e1, e 2 , ... , en} est q-orthonormale, tous les
termes cp0 ( ei, e j ) sont nuls sauf ceux correspondant à i = j qui valent 1. La
matrice de la forme quadratique est donc la matrice identité. On a démontré
la proposition suivante.
PROPOSITION 8.10 Soient E un IR-espace vectoriel de dimension finie et q
une forme quadratique sur E. La matrice de q dans une base q-orthonormale
est la matrice identité.
Remarque La matrice de q dans une base q-orthogonale est une matrice
diagonale.
o
En dimension finie, si B = (e1, ... ,en) est une base de E alors d'après la
relation (2) p. 440, on a
n n
\:/x E E q(x) = cpo (x, x) = LLXi Xj cpo (ei,e j ),
i=l j=l
où x1 , ... , Xn désignent les composantes de x dans la base B. Si la base considérée est q-orthogonale alors tous les coefficients cp0(ei, e j ) sont nuls sauf lorsque
i = j où ils valent q(e i) · On a donc
n
\:/x E E q(x) = 2.:x7 q(ei) ·
i=l
Lorsque la base considérée est q-orthonormale, les coefficients q(e i ) sont égaux
à 1 et on a
n
\:/x E E q(x) = L:xI.
i=l
On voit donc quel est l'intérêt de disposer d'une base q-orthonormale (ou
q-orthogonale) : la donnée des images d'une telle base par q permet de connaître
l'image de n'importe quel élément de E.