Algèbre bilinéaire
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Remarque Une famille à un seul élément non nul sera considérée comme
q-orthogonale pour toute forme quadratique q.
o
Exemples
1. Sur l'espace vectoriel C([O, 1], IR) des applications continues de [O, 1] dans IR,
l'application cp: C([O, 1], IR) x C([O, l], IR) - JR définie par
cp(f, g) = fo
1
f(t)g(t) dt
est une forme bilinéaire dont la forme quadratique associée est l'application
q : f E C([O, 1],IR) � f 0
1 J(t) 2 dt, voir p. 439. Considérons la famille Un )nEN"
de C([O, 1], IR) indexée par l'ensemble des entiers naturels non nuls et définie
par
\ln EN* fn : t E [O, 1] t--- -+ cos(27rnt).
Pour tout (n, m) E (N*) 2 on a
cp(f n , f m) = fo
1
cos(27rnt) cos(2mnt) dt
= � (fo
1
cos(27r(n + m)t) dt + fo
1
cos(27r(n - m)t) dt) .
Puisque pour tout réel >. =/:- 0 on a f 0
1 cos(27r >.t) dt = 0, on en déduit que lorsque
n =/:-mon a cp(f n, f m) = 0, ce qui montre que la famille Un )nEN· est une famille
orthogonale.
Cette famille n'est pas orthonormale puisque pour tout n E N* on a
Par contre, en considérant la famille (gn)nEN• définie par gn = ../2 f n alors
on a d'une part, pour tout couple (n, m) E (N*) 2 tel que n =/:- m la relation
cp(gn , gm) = 2cp(f"' fm) = 0 et d'autre part, pour tout n E N*, la relation
cp(gn , gn) = 2cp(fn , f n) = 1. Ainsi, la famille (gn)nEN* est orthonormale.
2. Dans l'espace vectoriel IR
4 , la forme de Lorentz, voir p. 439, est la forme
bilinéaire définie par
où c désigne un paramètre réel. La base canonique de IR 4 , c'est-à-dire la famille finie { e 1 , e 2 , e 3 , e4 } , est une famille orthogonale pour cette forme bilinéaire puisque pour tout ( i, j) E { 1, 2, 3, 4 } 2 avec i =/:- j on a cp( ei , ej ) = O.
Par contre, la famille {e 1 ,e 2 ,e 3 ,e4 } n'est pas orthonormale pour la forme de
Lorentz puisque on a cp(e4, e4) = -c 2 =/:- 1.