20
Séries réelles à termes positifs
PROPOSITION 1.6 (Comparaison à une intégrale généralisée)
Soient no un entier naturel et f une application de [no, +oo[ dans IR, positive
et décroissante. La série L n ;;rno f(n) et l'intégrale généralisée I n : = f (t) dt
sont de m€me nature.
Démonstration Nous allons commencer par établir une inégalité (voir la relation (5) ci-dessous) qui va ensuite nous permettre d'établir l'équivalence annoncée.
12 Comme c2sJ f est une application décroissante sur [no, +oo(, elle est localement
Riemann-intégrable sur [no, +oo[. La décroissance de f implique par ailleurs
que f(k + 1) � f(t) � f(k) pour tout t E [k, k + 1] (où k EN, k ;;::: no) et par
conséquent
1k+1
f(k + 1) � k
f(t) dt � f(k).
En sommant ces inégalités pour k E {no, . . .,N - 1} (où NE N, N > no),
il vient
N - 1
N - 1 k+l
N - 1
L: J(k + 1) � L: 1 J(t) dt � L: J(k).
k== n o
k= n o
k== n o
Puisque L : = - n � f(k + 1) = L : = n o+ I f(k) et L : == - n
1
o I : +l f(t) dt = I :1a f(t) dt,
on obtient :
N
N
N-1
L: J(k) � 1 J(t) dt � L: J(k).
k= n o+l
n o
k= n o
(5)
12 L'intégrale généralisée I n : = f(t) dt sera convergente si <2 6 l l'intégrale indéfinie
F : x E [no, +oo[i--+ I : 0 f(t) dt admet une limite quand x tend vers +oo.
Comme f est positive, l'application F est croissante. Pour montrer que F a
une limite quand x tend vers +oo, il suffit de montrer qu'elle est majorée. Pour
tout réel x positif, on a E(x) � x < E(x) + 1 (E désignant la fonction partie
entière). Puisque f est positive, on en déduit que pour tout x E [n0, +oo[
1E( x )
1E( x )+ 1
n o
f(t) dt � F ( x ) � n o
J(t) dt
puis, compte tenu de la relation (5), que
E( x )
E( x )
L f(k) � F ( x ) � L f(k).
k= n o+l
k= n o
<2 5 l voir le Cours de première année, p. 917.
<25 l Voir le Cours de première année , définition 19.2 p. 918.
(6)