Espaces métriques et espaces vectoriels normés
411
de la distance subordonnée à la norme Ni : f 1-+ f 0
1
If (t)I dt de la convergence en moyenne. En effet, nous avons vu (voir p. 403) que la suite Un )n de
C0([0, 1], IR) définie pour n ;?: 3 par
si t E [0, �]
si x E ) l l + l [
2' 2
n
si t E [� + �' 1]
converge dans (RI([O, 1], IR), N1 ) vers la fonction f définie par f(x) = 1 si
x E [O, �] et f(x) = 0 si x E]� , l[. Cette fonction n'étant pas continue en �, elle
n'appartient pas à C0 ([0, 1], IR).
3. L'ensemble B(I, IR) des applications de I dans lR qui sont bornées est fermé
dans l'ensemble A(I, IR) des applications de I dans lR muni de la distance d00
subordonnée à la norme Il 1100 de la convergence uniforme. Pour le montrer,
considérons une suite Un )n d'éléments de l'ensemble B(I, IR) qui converge vers
une application f dans (A(I, IR), I l 1100) et montrons que f est bornée. Puisque
pour tout n EN, l'application fn est bornée
•
(86) l
. (f )
. c
f
et puisque
a suite n n converge um1ormément vers ,
3N EN 'l:/n EN (n ?: N ===> llfn - f lloo J � 1) .
On en déduit, en ayant recours à l'inégalité triangulaire, que :
ce qui prouve que l'application f est bornée.
4. Dans un espace vectoriel normé (E, Il · Il) , la sphère S = {x E E; Jlxll = 1}
est un fermé. En effet, considérons une suite (xn)n d'éléments de S qui converge
vers x dans (E, li · li). Pour tout n E N, on obtient en ayant recours à la seconde
inégalité triangulaire :
et par conséquent 1 - llxn - xll � llxll � 1 + llxn - xll. Puisque la suite (xn)n
converge vers x on a limn_,+00 llxn - xll = 0 et on conclut par le théorème
d'encadrement que llxll = limn_, +00 llxll = 1, autrement dit que x E S.
COROLLAIRE 7.2 Soient (E, d) un espace métrique et A un sous-ensemble
de E. A est dense dans E si et seulement si tout élément de E est la limite
d'une suite d'éléments de A.
(85) Voir le Cours de première année p. 566.
<86> Voir la définition 2.2 p. 73 ; on prend ici ë = 1.
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de la distance subordonnée à la norme Ni : f 1-+ f 0
1
If (t)I dt de la convergence en moyenne. En effet, nous avons vu (voir p. 403) que la suite Un )n de
C0([0, 1], IR) définie pour n ;?: 3 par
si t E [0, �]
si x E ) l l + l [
2' 2
n
si t E [� + �' 1]
converge dans (RI([O, 1], IR), N1 ) vers la fonction f définie par f(x) = 1 si
x E [O, �] et f(x) = 0 si x E]� , l[. Cette fonction n'étant pas continue en �, elle
n'appartient pas à C0 ([0, 1], IR).
3. L'ensemble B(I, IR) des applications de I dans lR qui sont bornées est fermé
dans l'ensemble A(I, IR) des applications de I dans lR muni de la distance d00
subordonnée à la norme Il 1100 de la convergence uniforme. Pour le montrer,
considérons une suite Un )n d'éléments de l'ensemble B(I, IR) qui converge vers
une application f dans (A(I, IR), I l 1100) et montrons que f est bornée. Puisque
pour tout n EN, l'application fn est bornée
•
(86) l
. (f )
. c
f
et puisque
a suite n n converge um1ormément vers ,
3N EN 'l:/n EN (n ?: N ===> llfn - f lloo J � 1) .
On en déduit, en ayant recours à l'inégalité triangulaire, que :
ce qui prouve que l'application f est bornée.
4. Dans un espace vectoriel normé (E, Il · Il) , la sphère S = {x E E; Jlxll = 1}
est un fermé. En effet, considérons une suite (xn)n d'éléments de S qui converge
vers x dans (E, li · li). Pour tout n E N, on obtient en ayant recours à la seconde
inégalité triangulaire :
et par conséquent 1 - llxn - xll � llxll � 1 + llxn - xll. Puisque la suite (xn)n
converge vers x on a limn_,+00 llxn - xll = 0 et on conclut par le théorème
d'encadrement que llxll = limn_, +00 llxll = 1, autrement dit que x E S.
COROLLAIRE 7.2 Soient (E, d) un espace métrique et A un sous-ensemble
de E. A est dense dans E si et seulement si tout élément de E est la limite
d'une suite d'éléments de A.
(85) Voir le Cours de première année p. 566.
<86> Voir la définition 2.2 p. 73 ; on prend ici ë = 1.