Espaces métriques et espaces vectoriels normés
409
Démonstration Soient E un OC-espace vectoriel de dimension p E N* et
13 = (e1 , ... , ep) la base canonique de E. On munit E de la norme infinie
définie pour tout vecteur x de Ed e composantes (xC l l , ... , x < P l ) E JKP par
Considérons une suite de Cauchy (xn)n dans (E, Il · lloo,E ) et désignons par
(1)
( p )
,
(84)
(xn , . . . , Xn ) les composantes du terme géneral Xn dans la base 13. On a
Vê E �� 3N EN V(n, m) E N 2 (n � m � N ===} llxn - Xm lloo,E ::::; ê).
Puisque
Il - Il
-
1 ( i) - (i) 1 - Il ( (l)
(P l ) - ( (l)
( p ) ) ll
Xn Xm oo,E - . max Xn Xm - X n , . .. , X n
Xm , ... , Xm oo,IK" ,
iE{l , ... ,p}
on déduit de cette assertion que la suite de terme général (x� 1 ) , .•. , x}!° l ) est
une suite de Cauchy dans JKP muni de la norme infinie Il · Il oo,!KP . Comme JKP
est complet, cette suite converge vers un élément (f( l ) , ... , f(P)) de JKP pour la
norme infinie, ce qui ce traduit par :
Vê E �� 3N EN Vn EN (n � N ====> max l x� l - ftiJ I ::::; ê).
iE{ l, . . . ,p}
Notons e l'élément de E de composantes (f (l) ' ... 'f(P)) dans la base 13; on a
maxiE{ l, . .. ,p} l x� ) - f(i) I = llx - f lloo,E et l'assertion précédente qui se réécrit
Vê E �� 3N EN Vn EN (n � N ===} llx - f lloo,E ::::; ê)
indique que la suite (xn)n converge vers e dans E pour la norme Il · lloo,E· 0
Remarque En adaptant la démonstration qui vient d'être faite, on peut
montrer que si (Ei , 81), ... , (Ep , op) sont des espaces métriques complets alors
le produit cartésien E = E1 x · · · x Ep muni d'une des distances produit (voir
p. 356) est un espace métrique complet.
o
Exercice 7.15 On considère l'espace vectoriel réel E des applications de
[O, 1] dans �, de classe C 1 , s'annulant en O.
1 - Montrer que N : f E E t-t supx E ( O, l] lf (x) I + sup xE ( O ,IJ l f ' (x) I est une
norme sur E.
2 - On rappelle que (C 0 ([0, 1], �), l i· 11 00) est un espace de Banach, voir p. 403.
a) Montrer que si Un)n est une suite de Cauchy dans (E, N), elle
converge dans (C 0 ([0, 1], �), Il · lloo ) ·
b) Montrer que (E, N) �st un espace de Banach.
(S4J Vo ir la définition 7.20 p. 398.
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Démonstration Soient E un OC-espace vectoriel de dimension p E N* et
13 = (e1 , ... , ep) la base canonique de E. On munit E de la norme infinie
définie pour tout vecteur x de Ed e composantes (xC l l , ... , x < P l ) E JKP par
Considérons une suite de Cauchy (xn)n dans (E, Il · lloo,E ) et désignons par
(1)
( p )
,
(84)
(xn , . . . , Xn ) les composantes du terme géneral Xn dans la base 13. On a
Vê E �� 3N EN V(n, m) E N 2 (n � m � N ===} llxn - Xm lloo,E ::::; ê).
Puisque
Il - Il
-
1 ( i) - (i) 1 - Il ( (l)
(P l ) - ( (l)
( p ) ) ll
Xn Xm oo,E - . max Xn Xm - X n , . .. , X n
Xm , ... , Xm oo,IK" ,
iE{l , ... ,p}
on déduit de cette assertion que la suite de terme général (x� 1 ) , .•. , x}!° l ) est
une suite de Cauchy dans JKP muni de la norme infinie Il · Il oo,!KP . Comme JKP
est complet, cette suite converge vers un élément (f( l ) , ... , f(P)) de JKP pour la
norme infinie, ce qui ce traduit par :
Vê E �� 3N EN Vn EN (n � N ====> max l x� l - ftiJ I ::::; ê).
iE{ l, . . . ,p}
Notons e l'élément de E de composantes (f (l) ' ... 'f(P)) dans la base 13; on a
maxiE{ l, . .. ,p} l x� ) - f(i) I = llx - f lloo,E et l'assertion précédente qui se réécrit
Vê E �� 3N EN Vn EN (n � N ===} llx - f lloo,E ::::; ê)
indique que la suite (xn)n converge vers e dans E pour la norme Il · lloo,E· 0
Remarque En adaptant la démonstration qui vient d'être faite, on peut
montrer que si (Ei , 81), ... , (Ep , op) sont des espaces métriques complets alors
le produit cartésien E = E1 x · · · x Ep muni d'une des distances produit (voir
p. 356) est un espace métrique complet.
o
Exercice 7.15 On considère l'espace vectoriel réel E des applications de
[O, 1] dans �, de classe C 1 , s'annulant en O.
1 - Montrer que N : f E E t-t supx E ( O, l] lf (x) I + sup xE ( O ,IJ l f ' (x) I est une
norme sur E.
2 - On rappelle que (C 0 ([0, 1], �), l i· 11 00) est un espace de Banach, voir p. 403.
a) Montrer que si Un)n est une suite de Cauchy dans (E, N), elle
converge dans (C 0 ([0, 1], �), Il · lloo ) ·
b) Montrer que (E, N) �st un espace de Banach.
(S4J Vo ir la définition 7.20 p. 398.