Espaces métriques et espaces vectoriels normés
405
c'est-à-dire que la suite Un )n est uniformément de Cauch/78> . D'après le théorème 2.2 p. 82, la suite Un )n converge uniformément vers une application
f E C 0 ([a, b] , IR) et on a
't:/ ê E IR� 3N EN 't:/ n EN (n � N ==> sup lfn (x) - f(x)I :::; ; ê). (6)
xE[a,b]
Un raisonnement analogue permet d'établir que la suite (f�)n converge uniformément vers une application g dans C 0 ([a, b] , IR). Le théorème 2.5 p. 92 permet
d'affirmer que g = f ' ce qui en particulier implique que f E C 1 ([a, b] ,IR). On a
ainsi,
Vê E IR� 3N EN 't:/ n EN (n � N ==> sup I J� (x) - J' (x)I :::; ; ê) (7)
xE[a,b]
et on déduit des assertions (6) et (7), considérées avec �ê, que
't:l ê E IR� 3N EN 't:/ n EN (n � N ==> llfn - fil :::; ; ê).
Ceci permet de conclure que Un )n converge vers f dans (C 1 ([a, b] ,IR), li · li ).
Exercice 7.14 En considérant la suite de fonctions Un )n définies p. 404,
montrer que l'espace vectoriel C 0 ([0, 1], IR) muni de la norme Il · 11 2 de la
converge quadratique n'est pas un espace de Banach.
LEMME 7.3 Pour tout p E N*, les espaces vectoriels JRP et CP munis de la
norme infinie sont des espaces de Banach.
Démonstration Désignons par OC l'espace vectoriel lR ou Cet par l · l la valeur
absolue lorsque OC = lR ou le module lorsque OC = C. Considérons une suite de
Cauchy (xn)n dans OCP muni de la norme infinie Il · 1100 ; on a<79>
Vê E IR� 3N EN 't:/(n, m) E N 2 (n � m � N ==> ll xn - xm lloo :::; ; ê).
Pour tout n EN, désignons par (x� 1 ), ... , x�)) les composantes de Xn . Puisque
ll xn - Xm lloo = . max lx�) - x� I ,
iE{l,. .. ,p}
on a llxn - x mlloo :::; ; ê si et seulement si l x�) - x� 1 :::; ; ê pour tout i E {1, . . . ,p}.
On en déduit que la suite (xn)n est de Cauchy si et seulement si :
'Vê EIR� 3N EN 't:/(n, m) E N 2 Vi E{l, . .. ,p}
<78) Voir la définition 2.3 p. 82.
<79> Voir la définition 7 .20 p. 398.
(n >- m >- N ==> l x ( i ) - x ( i ) 1 � ê)
r
r
n
m ""'=: •
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c'est-à-dire que la suite Un )n est uniformément de Cauch/78> . D'après le théorème 2.2 p. 82, la suite Un )n converge uniformément vers une application
f E C 0 ([a, b] , IR) et on a
't:/ ê E IR� 3N EN 't:/ n EN (n � N ==> sup lfn (x) - f(x)I :::; ; ê). (6)
xE[a,b]
Un raisonnement analogue permet d'établir que la suite (f�)n converge uniformément vers une application g dans C 0 ([a, b] , IR). Le théorème 2.5 p. 92 permet
d'affirmer que g = f ' ce qui en particulier implique que f E C 1 ([a, b] ,IR). On a
ainsi,
Vê E IR� 3N EN 't:/ n EN (n � N ==> sup I J� (x) - J' (x)I :::; ; ê) (7)
xE[a,b]
et on déduit des assertions (6) et (7), considérées avec �ê, que
't:l ê E IR� 3N EN 't:/ n EN (n � N ==> llfn - fil :::; ; ê).
Ceci permet de conclure que Un )n converge vers f dans (C 1 ([a, b] ,IR), li · li ).
Exercice 7.14 En considérant la suite de fonctions Un )n définies p. 404,
montrer que l'espace vectoriel C 0 ([0, 1], IR) muni de la norme Il · 11 2 de la
converge quadratique n'est pas un espace de Banach.
LEMME 7.3 Pour tout p E N*, les espaces vectoriels JRP et CP munis de la
norme infinie sont des espaces de Banach.
Démonstration Désignons par OC l'espace vectoriel lR ou Cet par l · l la valeur
absolue lorsque OC = lR ou le module lorsque OC = C. Considérons une suite de
Cauchy (xn)n dans OCP muni de la norme infinie Il · 1100 ; on a<79>
Vê E IR� 3N EN 't:/(n, m) E N 2 (n � m � N ==> ll xn - xm lloo :::; ; ê).
Pour tout n EN, désignons par (x� 1 ), ... , x�)) les composantes de Xn . Puisque
ll xn - Xm lloo = . max lx�) - x� I ,
iE{l,. .. ,p}
on a llxn - x mlloo :::; ; ê si et seulement si l x�) - x� 1 :::; ; ê pour tout i E {1, . . . ,p}.
On en déduit que la suite (xn)n est de Cauchy si et seulement si :
'Vê EIR� 3N EN 't:/(n, m) E N 2 Vi E{l, . .. ,p}
<78) Voir la définition 2.3 p. 82.
<79> Voir la définition 7 .20 p. 398.
(n >- m >- N ==> l x ( i ) - x ( i ) 1 � ê)
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