Espaces métriques et espaces vectoriels normés
Fig. 1 Illustration graphique des distances doo (!, g) et di (f, g)
(valeur de l'aire grisée) entre les applications f et g.
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Si f et g appartiennent à C 0 ([a, b] , IR) alors la fonction f - g est continue sur
l'intervalle fermé borné [a, b] . Elle est donc bornée <9> et atteint ses bornes. La
quantité
d oo (f, g) = sup lf(x) - g(x)I = max lf(x) - g(x)I
xe[a,b]
x e [a, b]
est bien définie, voir la figure 1. Vérifions que d00 satisfait aux quatre conditions
de la définition 7.1.
- On a clairement d00 (f, g) � 0 pour tout (f, g) E c 0 ([a, b],JR) 2 .
- Supposons que d oo (f, g) = 0; on a alors maxx e [a, b] l f(x) - g(x)I = 0, ce
qui implique que pour tout x E [a, b] on a lf(x) - g(x)I = 0 , autrement
dit que f = g. La réciproque est quant à elle évidente : si f = g alors
maxx e [a,b] lf(x) - g(x)I = O.
- Soit (f, g) E c 0 ([a, b] ,IR) 2 j pour tout réel XE [a, b] on a lf(x) - g(x)I =
lg(x) - f(x)I donc maxx e [a,b] lf(x) - g(x)I = maxx e [a, b] lg(x) - f(x)I . On en
déduit . que d oo (f, g) = d oo (g, f).
- Pour tout (f, g, h) E C 0 ([a, b], JR) 3 on a :
'Vx E [a, b]
lf(x) - h(x)I :::; ; l f(x) - g(x)I + lg(x) - h(x)I .
Or, pour tout x E [a, b]
et
lf(x) - g(x)I :::; ; max lf(y) - g(y)I = d oo (f, g)
y E[a ,b)
lg(x) - h(x)I :::; ; max lg(y) - h(y)I = d oo (g, h).
y E[a . , b]
(o) Vo ir le théorème 13.4 p. 596 du Cours de première année . Rappelons que sur un intervalle ouvert, une application con'tinue n'est pas nécessairement bornée (considérer par
exemple la fonction logarithme sur l'intervalle ]O, 1[). La fonction d: (!, g) E c0{]a, b[)2 1--+
sup xE)a,b[ lf (x) - g(x)I n'est donc pas une application et ne permet pas de définir une
distance sur c0(]a, b[). Par contre, sur le sous-ensemble de c0(]a, b() constitué des applications bornées sur ]a, b[, on vérifie par un raisonnement analogue à celui qui est fait ici
pour c0([a, b] , IR) que cette fonction d définit bien une distance.