Séries de Fourier
Le développement limité en 0 à l'ordre 6 de la fonction cosinus est :
1 2 1 4 1 6
6
cos(x) = 1 - 21 x + 4fx - 6ï x +oo(x ).
= P(x)
337
Pour tout x E] -n , n [, on a xcotan(x) = cos(x)/(sin(x)/x). La partie régulière
du développement limité à l'ordre 6 au voisinage de 0 de la fonction donc en effectuant la division selon les puissances croissantes de P par Q à
l'ordre 6. On obtient :
1
1
2
x cotan(x) = 1 - -x 2 - -x 4 - -x 6 + o 0 (x 6 ).
3
45
9 45
Or, on a établi à la question précédente que pour tout x E] - n, n [,
+oo
x 2 n
2((2)
2((4)
2((6)
x cotan(x) = 1 - 2 '"°' ((2n) - = 1 - --x 2 - --x 4 - --x 6 + R(x)
L.., ,
7f2 n
7f2
7f 4
7f 6
n=l
+oo
2 n
+oo
2 n
où R(x) = -2 L ((2n) : 2 n = -2x8 L ((2n + 8) 1f�n+s = oo (x 6 ).
n= 4
n=O
Puisque
et
1 2 1 4 2 5
6
x cotan(x) = 1 - -x - -x - -x + oo(x )
3
45
9 45
x cotan(x) = 1 - 2((2) x 2 - 2((4) x 4 - 2((6) x 6 + o 0 (x 6 )
7f2
7f 4
7f 6
et puisque le développement limité à un ordre fixé et en un point donné d'une
fonction est unique, on en déduit que :
2((4) = 1
n 4
45
2((6)
2
n6
9 45
soit
soit
soit
2
((2) = � '
7f 4
((4) = 9 0 '
7f 6
((6) = 9 45 .
On peut bien entendu poursuivre le développement limité à un ordre plus élevé
et obtenir ainsi les valeurs de ((2k) pour k? 4.
SOLUTION DE L'EXERCICE 6.5
1 - La fonction f étant impaire, les coefficients (an)n sont nuls et pour tout
n EN* on a
1 1 11:
1 11:
1 1 11:
bn = - (n - x ) sin(nx) dx = sin(nx) dx - - x sin(nx) dx.
7f 0
0
7f 0