8
Définitions et premières propriétés
Effectuons le calcul avec MAPLE :
> evalf (swn( 1/n! ,n=O .. 10)) ;
> evalf (abs (%-exp (1))) ;
2.71 8281801
2.7E-8
En . prenant N = 10 on a donc une valeur approchée de la somme avec une
erreur qui vaut 2, 7 10 - 8 . L'erreur commise est très inférieure à 10 - 6 ; cela est
lié au fait que la quantité e/(N + 1)! à la base de notre estimation est un
majorant de l'erreur commise (mais n'est pas égal à l'erreur commise).
DÉFINITION 1.3 Étant donné une série numérique L n Un convergente, on
appelle reste d'ordre N de la série et on note RN la somme de la série
L n�N+ l Un :
+oo
RN = L Un.
n=N+l
Pour tout NE N, on a
+oo
N
+oo
µ = L Un = L Un + L Un = UN +RN .
n=O
n=O
n=N+l
Comme nous venons de la voir, une valeur approchée de la somme de la série,
lorsque celle-ci n'est pas explicitement calculable, est donnée par UN pour N
assez grand. La détermination de la valeur de N à prendre en considération
pour obtenir une erreur inférieure à une valeur fixée au préalable nécessite
d'être en mesure d'estimer ou de majorer le reste d'ordre N de la série.
Exercice 1.3 Déterminer la nature et calculer le cas échéant la somme
des séries suivantes :
1
l
- L n(n + 1)
n� l
2
- " (-l) n
� n!
n
3- L
e - n
.
n
n�l
Dans ce chapitre consacré à l'étude des séries numériques, nous allons introduire des critères permettant d'établir qu'une série numérique converge. Nous
établirons également des résultats permettant, pour différentes classes de séries
numériques, d'obtenir une estimation du reste d'ordre N de la série afin de
pouvoir procéder au calcul approché de la somme de la série lorsque celle-ci
n'est pas calculable explicitement.