SFcoef :=proc (f ,N,a,b)
local n;
Séries de Fourier
a[O] := (2*Pi)-(-1) *int(f(t) ,t=0 .. 2*Pi) :
b[O] := O;
for n from 1 to N do
a[n] := evalf ((Pi)-(-1) *Int(f (t) *cos (n*t) ,t=0 .. 2*Pi) ) :
b[n] := evalf ( (Pi)- (-1)*Int (f (t) *sin (n*t) ,t=O .. 2*Pi) ) :
od :
end proc :
313
On peut ainsi obtenir des valeurs approchées pour les premiers coefficients de
Fourier de la fonction x 1---> exp(sin(x)).
> f:=x-> exp(sin(x) );
> SFcoef (f ,4,a,b) ;
> seq(printf ("n = %d 1 a_n = %+ .6e 1 b_n = %+ .6e \n" ,n,a[n] ,b[n] ),
n=0 .. 4) ;
n = 0
1 a_n = +1 . 266066e+OO
n = 1
1 a_n = +1 .319448e-13
b_n
b_n
+O . OOOOOOe-01
+1 . 130318e+OO
n = 2
n = 3
n = 4
1 a_n = -2 .714953e-0 1
1 a_n = +1 .317857e-13
1 a_n = +5 . 474240e-03
b_n
b_n =
b_n =
+1 . 186598e-17
-4 . 433685e-02
-9 . 111633e-17
Coefficients de Fourier d'une fonction périodique de période T
Il est possible de définir la notion de série de Fourier pour des fonctions périodiques dont la période est différente de 21r. Il est aisé de vérifier que si f
est une application périodique de période T E IR'.f- alors f(x/w)
où w = 27r /T est une application périodique de période 27r. En effectuant le
changement de variable t = x/w, on obtient pour tout n EN :
1 1 2 71"
-
7r 0
2 { T
T J o
f(t) sin (nwt) dt.
1 1 2 71"
-
f (x/w) sin(nx) dx
7r 0
De même, pour tout n E N* on obtient :
et
1 { 2 7r
2 { T
an= :; J o
T J o
f(t) cos (nwt) dt
1 { 2 7r
1 { T
a o = 27r J o
T J o
f(t) dt.
Les réels an et bn sont appelés coefficients de Fourier de rang n de f et la série
L an cos (nwx) + bn sin (nwx)
n