Séries entières
SOLUTION DE L'EXERCICE 5.7
1 - On a la décomposition en éléments simples
<40> suivante :
X
a
b
c
(X -1) 2 (X -2)
= (X -1) 2 + X-1
+ X-2 ·
287
Le coefficient c s'obtient en multipliant par X -2 puis en évaluant cette quantité
en 2. On obtient c = 2. Le coefficient a s'obtient en multipliant par (X - 1) 2
puis en évaluant cette quantité en 1. On obtient a = -1. Enfin, le coefficient b
peut s'obtenir en multipliant par X et en faisant tendre X vers l'infini :
=0
=b+2
X 2
( -X bX 2X )
lim
= lim
+ --+ -- ,
X-++oo (X - 1) 2 (X - 2) X-++oo (X - 1) 2 X - 1 X - 2
d'où b = -2. Ainsi
X
-1
-2
2
(X -1) 2 (X - 2)
= (X -1) 2 + X-1
+ X-2 ·
2 - On en déduit que pour tout z E D(O, 1), on a
1
2
2
-1
2
1
f (z) =- -+- =
+- - --.
(z -1) 2 z-l z-2 (1 -z) 2 l -z 1-�
1
+oo
1
+oo Z n +oo 1
Or -- = '°' z n donc
-- z = '°' (-) = '°' --;;: z n . Par ailleurs, comme
l -z �
1- - � 2
� 2
n=O
2 n=O
n=O
le rayon de la série entière L: n z n vaut 1, on a pour tout z E D(O, 1),
1
( 1 ) ' ( +oo ) / +oo +oo +oo
(1 -z) 2 = l - z
= � Z n = �( z n ) ' = � nz n - 1 = �( n+l)z n .
On en déduit que pour tout z E D(O, 1) on a
SOLUTION DE L'EXERCICE 5.8
Pour tous a E IR et x E] - 1, 1[, on a
(
)
a
� a (a - 1) ... (a - n + 1) n
l+x =1+ �
I
X
n.
n=l
<40> vo ir le chap. 7 du Cours de première année pour les techniques de décomposition en
éléments simples d'une fraction rationnelle.