Séries numériques
Finalement, on obtient po ur to ut n E N*
IUn + ln( 2) 1
1 rl ( - t r d t l � rl ___E_ _ d t � rl t n d t = _ 1
__
Jo 1 + t
Jo 1 + t
J o
n + 1
5
,
( 5 )
On concl ut alors par le theor ême d'encadrement qu e la su ite des sommes
partielles converge vers -ln( 2).
La série harmoniq ue alternée L: n ( - l) n � converge et a po ur somme -ln( 2).
On po ur ra cons ul ter l'exercice 1. 2 p. 7 po ur un e au tre méthode permettant
d'établ i r ce rés ultat.
4. Montrons qu e la série de terme général Un = 1/n ! converge et qu e sa somme
(6)
va ut e. La form ule de Taylor- Lagrange appliq ué e à l'ordre n à la fonction
exponentielle entre 0 et 1 donne :
3cn E]O, 1[
n 1
1
e = L k ! + (n + l) ! exp( e n) ·
k=O
Le terme général de la su ite (U n)n des sommes partielles associée à cette série
vérifie donc :
n 1
1
Un = L k ! = e - (n + l) ! exp( e n) ·
k=O
Pui sq ue Cn E]O, 1[ on a 1 < exp( e n) < e et
1
e
I Un -el = (n + l) ! exp( e n) < (n + l) !
Par le théorème d'encadrement es > , on en déd ui t qu e la su ite des sommes partielles converge vers e et par conséq ue nt qu e la série L: n Un est convergente,
de somme L:�:i_ un = e. Pl us généralement, en ut ilisant la même méthode, on
montre le rés ul tat su ivant.
Po ur to ut réel x la série de terme général Un = x n /n ! converge et sa somme
va ut e"' .
5. La série de terme général Un = ln( l + �) diverge pu isq ue le terme général
de la suite des sommes partielles qu i s'écrit :
n
n
( k + l )
n
n
Un = (;ln( l + Ï)=(;ln - k
- = (;ln( k + l) - (;ln( k )=ln( n+l)
< 5 > Voir le théorème 5.1 p. 179 du Cours de première année.
<5> Voir le Cours de première année, théorème 16.4 p. 750.