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Fonctions définies par une série. entière
Remarque Le théorème 5.5 a une conséquence intéressante. Si deux fonctions f et g, développables en série entière dans un voisinage V de l'origine,
sont telles que
3r E IR� Vz E D(O, r) f(z) = g(z)
alors ces deux fonctions sont égales sur tout l'ensemble V.
0
Si f est une fonction de C dans C admettant un développement en série entière
dans un voisinage V de l'origine de la forme f(z) = L:t� a k z k alors, en
restriction aux valeurs x réelles de la variable, on a pour tout n E N
n
+oo
n
f(x) = L a k x k + x n+l L an +l+k x k
= L a k x k + oo(x n ).
k=O
k=O
k=O
Cette expression constitue le développement limité
<21> à l'ordre n de f à l'origine.
Le résultat suivant, qui est un corollaire du théorème 5.5, étend au cas des
fonctions de la variable complexe la notion de développement limité.
PROPOSITION 5.8 (Développement limité d'une fonction complexe)
Soit f une fo nction de C dans C admettant un développement en série entière
dans un voisinage V de l'origine de la fo rme f ( z) = L:t� a k z k .
Pour tout n E N, f admet un développement limité d'ordre n en 0 donné
par :
n
Vz E V f(z) = L a k z k + oo(z n ).
k=O
Démonstration Désignons par R le rayon de convergence de la série entière
L n an z n . L'ordre n du développement limité étant fixé, il s'agit de montrer
que pour tout z E V, n
f (z) - L a k z k
= z n t:(z) avec lim t:(z) = O.
Z-+Ü
Pour z E V, on a
k=O
n
+oo
+oo
f(z) - L a k z k
= L a k z k
= z n+l Lan+k+1z k
= z n t:(z)
k=O
k=n+l
k=O
où on a posé t:(z) = z L:t� an+k+iZ k .
Intéressons-nous à la série entière L k an +k+ 1z k ; elle a même rayon de convergence que la série entière L k a k z k , voir p. 236. Elle converge donc dans D(O, R)
et sa somme 'l/J est une fonction continue sur D(O, R). On en déduit que pour
tout z E D(O, R) on a t:(z) = zcp(z) ce qui implique que limz_,o t:(z) = 0 car est continue en O. Le résultat est démontré.
0
<21> voir le �hap. 17 du Cours de première année.