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Fo nctions usuelles de la variable complexe
4. 7 Fonctions usuelles de la variable complexe
Nous allons voir dans cette partie comment un certain nombre de fonctions
usuelles de la variable réelle admettent un prolongement en tant que fonctions
de la variable complexe.
4.7.1 La fonction exponentielle complexe
Pour tout complexe z fixé, la série numérique complexe E n � z n est absolument convergente (on peut par exemple utiliser la règle de D'Alembert <2 6 l pour
l'établir). Cette propriété permet d'introduire la définition suivante.
DÉFINITION 4.15 (Fonction exponentielle complexe)
On appelle exponentielle complexe et on note <2 7l exp l'application de C dans C
définie par :
\:/z E C
+oo 1
exp(z) = L I z n .
n=O n.
Le choix de l'appellation exponentielle complexe est justifié par le fait que la
fonction exponentielle complexe exp prolonge à C la fonction exponentielle
réelle, au sens où si z désigne un complexe de partie imaginaire nulle (z = x
avec x E IR) l'exponentielle du nombre complexe z est un nombre réel égal à
l'exponentielle réelle du réel x: exp(z) = ex. Ceci résulte du fait que pour tout
réel x la série numérique réelle E n � x n a pour somme ex, voir p. 5.
PROPOSITION 4.19 Pour tout (z1 , z 2 ) E C 2 et tout n E Z, on a les relations
suivantes :
1.
2.
3.
4 .
exp(z 1 + z 2 ) = exp(z1 ) x exp(z 2 ) ;
1
exp(-z 1 ) = ( ) ;
exp z1
exp(z 1 )
exp(z 1 - z 2 ) = ( ) ;
exp z 2
exp(nz1 ) = (exp(zi) r .
<2 6 > Voir la proposition 1.13 p. 34.
<27> Par souci de clarté et afin de distinguer dans un premier temps les deux fonctions exponentielles « réelle » et « complexe », nous noterons exp la fonction exponentielle complexe
et nous désignerons par ex l'exponentielle du réel x. Du point de vue mathématique, cette
distinction n'a pas lieu d'être puisque nous verrons que la fonction exponentielle réelle
coïncide avec la fonction exponentielle complexe lorsque celle-ci est restreinte aux complexes de partie imaginaire nulle.