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Dérivabilité d'une fonction de la variable complexe
deux notions différentiable et C-dérivable (i.e. holomorphe) ne sont donc pas
équivalentes.
PROPOSITION 4.13 Soient U un ouvert non vide de C et f une application
de U dans C. Si f est holomorphe en zo E U (resp. sur U) alors f est
différentiable en zo (resp. sur U ).
Démonstration Pour tout z EU\ {zo} on a f(z) = f(zo) + ( z - zo) g( z) où
g : z EU\ {zo} t--- -+ f(z) - f(zo) .
Z - Zo
Il en résulte que pour tout complexe h non nul dans un voisinage de 0 on a
f(zo + h) = f(zo) + h g(zo + h) = f(zo) + h j'(zo) + (h)
où : h r-+ h(g( zo + h) - f '( zo)). Si f est holomorphe en zo, alors
lim g ( z0 + h) = J ' ( zo) et par conséquent
h-+O
. h(h)
11111
- 1 , - 1 -
= o .
h-+O i
On en conclut que si f est holomorphe en zo alors f est différentiable en zo et
df zo : h E C r-+ h f '( zo).
D
Dans la suite de ce chapitre nous ne considérerons plus que la notion de fonction
holomorphe. La notion de fonction différentiable sera approfondie et généralisée
au chap. 10.
4.6.2 Propriétés des fonctions holomorphes
PROPOSITION 4.14 Soient U un ouvert non vide de C et f une application
de U dans C. Si f est holomorphe en zo E U (resp. sur U) alors f est continue
en zo (resp . sur U ).
Démonstration Pour tout élément z de U différent de z0, on a (vérifier que
le membre de droite se simplifie) :
f(z) = f(zo) + ( z - zo) f(z) - f(zo) .
z - zo
Or, f étant holomorphe en z0 on a lim f ( z) - f ( zo) = J ' ( z0) et par conséquent
z-+zo z - Zo
lim ( z
_
zo) f(zo + h) - f(zo) = O.
z-+zo
z - zo
On en conclut que lim f(z) = f(zo), autrement dit f est continue en zo. D
Z-+Zo