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Continuité d'une fonction de la variable complexe
Exemple Nous établirons ultérieurement que f : z E C* � z 2 /l zl est une
application continue sur C*. Nous avons montré p. 180 qu'elle admet pour
limite 0 en O. Elle est donc est prolongeable par continuité en 0 et admet pour
prolongement par continuité l'application :
-
{ z 2 /l zl
f:zECi--- -; 0
si z # 0
si z = 0
Remarque Il est fréquent de confondre au niveau des notations l'application f
et son prolongement par continuité en notant également f ce dernier.
<>
On a le résultat suivant qui découle de la proposition 4.3.
PROPOSITION 4.7 Soient U un ouvert non vide de C, f une application
de U dans C et zo un élément de U. Si f est continue en zo alors il existe un
voisinage de zo sur lequel f est bornée.
Exemples
1. L'application z E C* � 1/ z E C n'est pas continue en 0 car elle n'est pas
bornée en 0, voir p. 184.
2. L'application z E C* � l zl/ z E C est bornée sur IR, voir p. 175, mais elle
n'est pas continue en 0 car elle n'a pas de limite en 0, voir l'exercice 4.3 p. 183.
PROPOSITION 4.8 Soient U un ensemble ouvert non vide de C, f une application de U dans C et zo un élément de U. Si f est continue en zo et si
f(zo) # 0 alors il existe un voisinage de zo sur lequel f ne s'annule pas.
Démonstration L'application f est continue en zo donc, d'après la définition 4. 11,
Ve E IR+ 317 E IR+ Vz EU (lz - zol � 17 ===? lf(z) - f(zo) I � e) .
Prenons e = �lf(zo)I . On a e > 0 car f(zo) # 0 et il existe 17 E JR+ tel que :
Vz EU (lz - zol � 17 ===? lf(z) - f(zo) I � �lf( zo) I) .
L'ensemble V = Un D( zo, 17) est un voisinage de z0 et pour z E V, on obtient
en utilisant la seconde inégalité triangulaire :
lf(zo)l - lf(z) I � l lf(zo)l - lf(z)l l � lf(zo) - f(z)I � �lf( zo) I .
On en déduit que pour z EV on a lf(z) I ;;:=: �lf(zo) I > 0, autrement dit que f
ne s'annule pas sur V qui est un voisinage de z0.
0
Continuité d'une fonction de la variable complexe
Exemple Nous établirons ultérieurement que f : z E C* � z 2 /l zl est une
application continue sur C*. Nous avons montré p. 180 qu'elle admet pour
limite 0 en O. Elle est donc est prolongeable par continuité en 0 et admet pour
prolongement par continuité l'application :
-
{ z 2 /l zl
f:zECi--- -; 0
si z # 0
si z = 0
Remarque Il est fréquent de confondre au niveau des notations l'application f
et son prolongement par continuité en notant également f ce dernier.
<>
On a le résultat suivant qui découle de la proposition 4.3.
PROPOSITION 4.7 Soient U un ouvert non vide de C, f une application
de U dans C et zo un élément de U. Si f est continue en zo alors il existe un
voisinage de zo sur lequel f est bornée.
Exemples
1. L'application z E C* � 1/ z E C n'est pas continue en 0 car elle n'est pas
bornée en 0, voir p. 184.
2. L'application z E C* � l zl/ z E C est bornée sur IR, voir p. 175, mais elle
n'est pas continue en 0 car elle n'a pas de limite en 0, voir l'exercice 4.3 p. 183.
PROPOSITION 4.8 Soient U un ensemble ouvert non vide de C, f une application de U dans C et zo un élément de U. Si f est continue en zo et si
f(zo) # 0 alors il existe un voisinage de zo sur lequel f ne s'annule pas.
Démonstration L'application f est continue en zo donc, d'après la définition 4. 11,
Ve E IR+ 317 E IR+ Vz EU (lz - zol � 17 ===? lf(z) - f(zo) I � e) .
Prenons e = �lf(zo)I . On a e > 0 car f(zo) # 0 et il existe 17 E JR+ tel que :
Vz EU (lz - zol � 17 ===? lf(z) - f(zo) I � �lf( zo) I) .
L'ensemble V = Un D( zo, 17) est un voisinage de z0 et pour z E V, on obtient
en utilisant la seconde inégalité triangulaire :
lf(zo)l - lf(z) I � l lf(zo)l - lf(z)l l � lf(zo) - f(z)I � �lf( zo) I .
On en déduit que pour z EV on a lf(z) I ;;:=: �lf(zo) I > 0, autrement dit que f
ne s'annule pas sur V qui est un voisinage de z0.
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