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Limite d'une fonction de la variable complexe
4.4.3 Propriétés de la limite
PROPOSITION 4.3 Soient U un ouvert non vide de
voisinage de z0 sur lequel f est bornée.
Démonstration Supposons que f admette le complexe e pour limite en z0.
D'après la définition 4.10 considérée avec é = 1, il existe un réel strictement
positif 171 tel que pour tout z E U,
lz - zol :::; ; 171 ===} lf(z) -e1 :::; ; 1.
On en déduit, en utilisant l'inégalité triangulaire, que pour z E B(z0, 17) n U
on a
lf(z)I = lf(z) -e +fi :::; ; lf(z) - f i + Ill :::; ; 1 + 1e1 .
L'application f est donc bornée sur B(zo, 17) n U.
0
La proposition 4.3 peut être utilisée afin de montrer qu'une application n'a pas
de limite. En effet, il résulte de la proposition 4.3, par contraposition, que s'il
n'existe pas de voisinage de zo sur lequel l'application f de U dans
'Vr E IR'.f. 'VM E JR + 3z EU n D(zo , r) lf(z)I > M,
alors f n'admet pas de limite en zo.
Exemple L'application f : z E C* 1-l: 1/ z n'est bornée sur aucun voisinage
de zo = 0 puisque pour tout r E IR'.f. et pour tout M E JR + , le complexe
z = � min( 11 �1 , r ) vérifie z E D(O,r) et lf(z)I >M. On en déduit que f n'a pas
de limite en O.
PROPOSITION 4.4 Soient U un ouvert non vide de C et z0 un point adhérent
à U. L'application f de U dans
vers zo la suite de terme général f(un) converge verse.
Démonstration � Supposons que f admette pour limite e en Zo et considérons une suite ( un )n convergeant vers zo et un réel strictement positif é.
Puisque f admet pour limite e en zo, d'après la définition 4. 10,
317 E IR'.f. 'Vz EU (lz - zo l :::; ; 17 ===? lf(z) - f i:::; ; é )
•
(20) 1
. ( )
et pmsque a smte Un n converge vers zo
3N EN 'Vn EN (n � N ===} lun - zo l :::; ; 17) .
<2 o ) Voir la définition 5.1, p. 168 du Cours de première année; on prend pour première variable
(e) de l'assertion quantifiée le réel T/ défini auparavant .
Limite d'une fonction de la variable complexe
4.4.3 Propriétés de la limite
PROPOSITION 4.3 Soient U un ouvert non vide de
voisinage de z0 sur lequel f est bornée.
Démonstration Supposons que f admette le complexe e pour limite en z0.
D'après la définition 4.10 considérée avec é = 1, il existe un réel strictement
positif 171 tel que pour tout z E U,
lz - zol :::; ; 171 ===} lf(z) -e1 :::; ; 1.
On en déduit, en utilisant l'inégalité triangulaire, que pour z E B(z0, 17) n U
on a
lf(z)I = lf(z) -e +fi :::; ; lf(z) - f i + Ill :::; ; 1 + 1e1 .
L'application f est donc bornée sur B(zo, 17) n U.
0
La proposition 4.3 peut être utilisée afin de montrer qu'une application n'a pas
de limite. En effet, il résulte de la proposition 4.3, par contraposition, que s'il
n'existe pas de voisinage de zo sur lequel l'application f de U dans
'Vr E IR'.f. 'VM E JR + 3z EU n D(zo , r) lf(z)I > M,
alors f n'admet pas de limite en zo.
Exemple L'application f : z E C* 1-l: 1/ z n'est bornée sur aucun voisinage
de zo = 0 puisque pour tout r E IR'.f. et pour tout M E JR + , le complexe
z = � min( 11 �1 , r ) vérifie z E D(O,r) et lf(z)I >M. On en déduit que f n'a pas
de limite en O.
PROPOSITION 4.4 Soient U un ouvert non vide de C et z0 un point adhérent
à U. L'application f de U dans
vers zo la suite de terme général f(un) converge verse.
Démonstration � Supposons que f admette pour limite e en Zo et considérons une suite ( un )n convergeant vers zo et un réel strictement positif é.
Puisque f admet pour limite e en zo, d'après la définition 4. 10,
317 E IR'.f. 'Vz EU (lz - zo l :::; ; 17 ===? lf(z) - f i:::; ; é )
•
(20) 1
. ( )
et pmsque a smte Un n converge vers zo
3N EN 'Vn EN (n � N ===} lun - zo l :::; ; 17) .
<2 o ) Voir la définition 5.1, p. 168 du Cours de première année; on prend pour première variable
(e) de l'assertion quantifiée le réel T/ défini auparavant .