Fonctions complexes de la variable complexe
171
Pour tout t E] - 1, 1[, on ac1 2 > cos(arccos(t)) = t et sin(arccos(t)) = J'l'=t2 de
sorte que
îf;(t) = t + iJl=t2 = cos(arccos(t)) + sin(arccos(t)) = ef>(B(t))
où la fonction () est définie pour tout t E] - 1, 1[ par B ( t) = arccos(t). La fonction
arc-cosinus est une bijection de ] - 1, 1[ dans JO, 11'[ de classe C00 dont la bijection
réciproque, qui est la fonction cosinus, est de classe C00 sur JO, 11'[. Les deux arcs
paramétrés if> et 'If; sont donc C00-équivalents.
Remarques
1 . La continuité de l'application () sur I implique ci 3 > la continuité de sa bijection
réciproque sur J. Mais le fait que () soit de classe C k sur I (avec k E .N*)
n'implique pas nécessairement que B - 1 soit de classe C k sur J. Il faut pour
cela < '•> que la dérivée de () ne s'annulè pas sur I.
2. La relation « les arcs paramétrés if> et 'If; sont C k -équivalents » définit une
relation d'équivalence < 1s> sur l'ensemble des arcs paramétrés de
DÉFINITION 4.9 (Arcs géométriques)
On appelle arc géométrique de classe C k une classe d'équivalence / d'arcs
paramétrés de classe C k pour la relation « être C k -équivalents ».
- Les arcs paramétrés de la classe / sont appelés représentations paramétriques admissibles (ou paramétrisations) de l'arc géométrique /.
- L'image commune des arcs paramétrés de la classe 'Y est appelée support
de l'arc géométrique /.
- Un arc géométrique est dit simple si toute paramétrisation de cet arc est
injective.
Exemples
1. Pour r E R:f- fixé, l'application if> : t E [O, 211'] 1--+ reit définit un arc paramétré de classe C00• Le support de l'arc géométrique / associé à if> est le
cercle de centre l'origine et de rayon r. Cet arc géométrique n'est pas simple
car ef> ( O) = c/>(211') = r.
2. L'application 'If; : t E [-11', 11'] 1--+ -reit définit un arc paramétré de classe C00
qui est C00-équivalent à if> puisque 'If;= if> o ()où (} : t E [-11', 11'] t--+ 71' - t E [0, 211']
< 1 2 > Vo ir le Cours de première année p. 650.
< 1 3 > Voir la proposition 14.1 p. 623 du Cours de première an née.
(Hl Voir la proposition 14.2 p. 624 du Cours de première année.
(lSJ Vo ir la définition 2.28 p. 55 du Cours de première année.
171
Pour tout t E] - 1, 1[, on ac1 2 > cos(arccos(t)) = t et sin(arccos(t)) = J'l'=t2 de
sorte que
îf;(t) = t + iJl=t2 = cos(arccos(t)) + sin(arccos(t)) = ef>(B(t))
où la fonction () est définie pour tout t E] - 1, 1[ par B ( t) = arccos(t). La fonction
arc-cosinus est une bijection de ] - 1, 1[ dans JO, 11'[ de classe C00 dont la bijection
réciproque, qui est la fonction cosinus, est de classe C00 sur JO, 11'[. Les deux arcs
paramétrés if> et 'If; sont donc C00-équivalents.
Remarques
1 . La continuité de l'application () sur I implique ci 3 > la continuité de sa bijection
réciproque sur J. Mais le fait que () soit de classe C k sur I (avec k E .N*)
n'implique pas nécessairement que B - 1 soit de classe C k sur J. Il faut pour
cela < '•> que la dérivée de () ne s'annulè pas sur I.
2. La relation « les arcs paramétrés if> et 'If; sont C k -équivalents » définit une
relation d'équivalence < 1s> sur l'ensemble des arcs paramétrés de
DÉFINITION 4.9 (Arcs géométriques)
On appelle arc géométrique de classe C k une classe d'équivalence / d'arcs
paramétrés de classe C k pour la relation « être C k -équivalents ».
- Les arcs paramétrés de la classe / sont appelés représentations paramétriques admissibles (ou paramétrisations) de l'arc géométrique /.
- L'image commune des arcs paramétrés de la classe 'Y est appelée support
de l'arc géométrique /.
- Un arc géométrique est dit simple si toute paramétrisation de cet arc est
injective.
Exemples
1. Pour r E R:f- fixé, l'application if> : t E [O, 211'] 1--+ reit définit un arc paramétré de classe C00• Le support de l'arc géométrique / associé à if> est le
cercle de centre l'origine et de rayon r. Cet arc géométrique n'est pas simple
car ef> ( O) = c/>(211') = r.
2. L'application 'If; : t E [-11', 11'] 1--+ -reit définit un arc paramétré de classe C00
qui est C00-équivalent à if> puisque 'If;= if> o ()où (} : t E [-11', 11'] t--+ 71' - t E [0, 211']
< 1 2 > Vo ir le Cours de première année p. 650.
< 1 3 > Voir la proposition 14.1 p. 623 du Cours de première an née.
(Hl Voir la proposition 14.2 p. 624 du Cours de première année.
(lSJ Vo ir la définition 2.28 p. 55 du Cours de première année.