Fo nctions complexes de la variable complexe
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Exemples
1. L'intérieur de la boule fermée D(z0, r) est la boule ouverte D(zo, r) .
2. L'intérieur de l'ensemble fermé {z E C ; Im(z) � O} est l'ensemble ouvert
{z E C; '.Im (z) < O}.
Remarques
1. Il résulte de la définition 4.5 qu'un point intérieur à Z appartient obligatoirement à Z. On a donc Int (Z) c Z.
2. D'après la définition 4.2 p. 165, l'élément zo est un point intérieur à Z si et
seulement si Z est un voisinage de zo .
3. L'intérieur de Z est un ensemble ouvert ; on peut d'ailleurs montrer que < D >
c'est le plus grand ouvert contenu dans Z.
o
DÉFINITION 4.6 (Adhérence)
Soit Z un sous-ensemble non vide de C et zo E C.
)< On dit que zo est un point adhérent à Z si toute boule ouverte de centre zo
contient au moins un élément de Z. L'ensemble des points adhérents à Z est
noté Z et est appelé adhérence de Z.
)
De manière équivalente, z0 est un point adhérent à Z si tout voisinage de z0
contient au moins un élément de Z et zo est un point d'accumulation de Z si
tout voisinage de zo contient au moins un élément de Z autre que zo .
Remarques
1. Un point d'accumulation de Z est un point adhérent de Z mais la réciproque
est fausse. Un point adhérent à l'ensemble Z qui n'est pas un point d'accumulation est appelé un point isolé. L'adhérence d'un sous-ensemble de C est donc
l'union disjointe de ses points d'accumulation et de ses points isolés.
,
,
(10)
2. L'adherence de Z est un ensemble ferme ; on peut montrer que c'est le
plus petit ensemble fermé contenant z. On a donc Z c Z.
o
Exemples
1. L'adhérence de la boule ouverte D(zo, r) est la boule fermée D(zo, r ) , ce qui
justifie la notation utilisée dans la définition 4.1.
2. L'adhérence de l'ensemble ouvert {z E C; '.Im(z) < O} est l'ensemble fermé
{z E C; '.Im(z) � 0}.
(D) Cette affirmation sera établie dans un cadre plus général p. 377.
(10) Cette affirmation sera établie dans un cadre plus général p. 379.
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Exemples
1. L'intérieur de la boule fermée D(z0, r) est la boule ouverte D(zo, r) .
2. L'intérieur de l'ensemble fermé {z E C ; Im(z) � O} est l'ensemble ouvert
{z E C; '.Im (z) < O}.
Remarques
1. Il résulte de la définition 4.5 qu'un point intérieur à Z appartient obligatoirement à Z. On a donc Int (Z) c Z.
2. D'après la définition 4.2 p. 165, l'élément zo est un point intérieur à Z si et
seulement si Z est un voisinage de zo .
3. L'intérieur de Z est un ensemble ouvert ; on peut d'ailleurs montrer que < D >
c'est le plus grand ouvert contenu dans Z.
o
DÉFINITION 4.6 (Adhérence)
Soit Z un sous-ensemble non vide de C et zo E C.
)< On dit que zo est un point adhérent à Z si toute boule ouverte de centre zo
contient au moins un élément de Z. L'ensemble des points adhérents à Z est
noté Z et est appelé adhérence de Z.
)
De manière équivalente, z0 est un point adhérent à Z si tout voisinage de z0
contient au moins un élément de Z et zo est un point d'accumulation de Z si
tout voisinage de zo contient au moins un élément de Z autre que zo .
Remarques
1. Un point d'accumulation de Z est un point adhérent de Z mais la réciproque
est fausse. Un point adhérent à l'ensemble Z qui n'est pas un point d'accumulation est appelé un point isolé. L'adhérence d'un sous-ensemble de C est donc
l'union disjointe de ses points d'accumulation et de ses points isolés.
,
,
(10)
2. L'adherence de Z est un ensemble ferme ; on peut montrer que c'est le
plus petit ensemble fermé contenant z. On a donc Z c Z.
o
Exemples
1. L'adhérence de la boule ouverte D(zo, r) est la boule fermée D(zo, r ) , ce qui
justifie la notation utilisée dans la définition 4.1.
2. L'adhérence de l'ensemble ouvert {z E C; '.Im(z) < O} est l'ensemble fermé
{z E C; '.Im(z) � 0}.
(D) Cette affirmation sera établie dans un cadre plus général p. 377.
(10) Cette affirmation sera établie dans un cadre plus général p. 379.