Fonctions complexes de la variable complexe
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L'intervalle JO, 1 [ est un ensemble ouvert dans R Mais le « même ensemble »
considéré dans C, i.e. l'ensemble {z E C; Re(z) E]O, 1[ et Im (z) = O}, n'est
pas un sous-ensemble ouvert dans C. Il est facile de voir par exemple que
dans C, il n'existe aucune boule ouverte de centre � qui soit incluse dans
cet ensemble. Ce n'est pas non plus un ensemble fermé dans C.
PROPOSITION 4.1 (Union et intersection d'ouverts ou de fermés)
X L 'union d'un nombre quelconque es> d'ensembles ouverts est un ensemble ouvert. L'intersection d'un nombre fini d'ensembles ouverts est un ensemble
ouvert.
X L 'intersection d'un nombre quelconque d'ensembles fe rmés est un ensemble
fe rmé. L'union d'un nombre fini d'ensembles fermés est un ensemble fermé.
Démonstration Ce résultat sera démontré dans un cadre plus général au
chap. 7. La seconde partie de la proposition concernant les ensembles fermés
s'obtient à partir de la première partie de la proposition en utilisant les lois de
(G)
Morgan .
0
Exemples
1. L'ensemble {z E C ; Im(z) = O} est un ensemble fermé car son complémentaire dans C est la réunion des deux ouverts {z E C ; Im(z) > O} et
{z E C; Im(z) < O}.
2. La couronne { z E C ; r1 < lz l < r2 } où (ri , r2 ) E IR+ x IR+ avec r 1 < r2 est
un ensemble ouvert. En effet, son complémentaire dans C qui est l'ensemble
D(O, r 1 ) U CD(O, r2 ) est la réunion de deux ensembles fermés.
3. Le cercle C(zo,r) = {z E C; lz-z o l = r } où zo E Ce t r E IR+ est un
ensemble fermé car son complémentaire dans C qui est D(z0 , r ) U CD(z0 , r ) est
la réunion de deux ensembles ouverts.
On sera attentif au fait que l'intersection d'un nombre infini d'ensembles ouverts n'est pas nécessairement un ensemble ouvert, de même que la réunion
d'un nombre infini d'ensembles fermés n'est pas nécessairement un ensemble
fermé. Par exemple, l'intersection pour tous les entiers naturels n non nuls
des boules ouvertes D(z0 , �) est le singleton {zo} qui est un ensemble fermé
t
'
( 7 )
•
,
e par consequent qm n est pas ouvert.
( s ) Fini, dénombrable .ou infini non dénombrable.
(G) " . 1
. .
d c
d
.
voir a propos1t10n 2.3 p. 30 u ours e première an née.
< 7 > Rappelons que les seuls sous-ensembles de
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L'intervalle JO, 1 [ est un ensemble ouvert dans R Mais le « même ensemble »
considéré dans C, i.e. l'ensemble {z E C; Re(z) E]O, 1[ et Im (z) = O}, n'est
pas un sous-ensemble ouvert dans C. Il est facile de voir par exemple que
dans C, il n'existe aucune boule ouverte de centre � qui soit incluse dans
cet ensemble. Ce n'est pas non plus un ensemble fermé dans C.
PROPOSITION 4.1 (Union et intersection d'ouverts ou de fermés)
X L 'union d'un nombre quelconque es> d'ensembles ouverts est un ensemble ouvert. L'intersection d'un nombre fini d'ensembles ouverts est un ensemble
ouvert.
X L 'intersection d'un nombre quelconque d'ensembles fe rmés est un ensemble
fe rmé. L'union d'un nombre fini d'ensembles fermés est un ensemble fermé.
Démonstration Ce résultat sera démontré dans un cadre plus général au
chap. 7. La seconde partie de la proposition concernant les ensembles fermés
s'obtient à partir de la première partie de la proposition en utilisant les lois de
(G)
Morgan .
0
Exemples
1. L'ensemble {z E C ; Im(z) = O} est un ensemble fermé car son complémentaire dans C est la réunion des deux ouverts {z E C ; Im(z) > O} et
{z E C; Im(z) < O}.
2. La couronne { z E C ; r1 < lz l < r2 } où (ri , r2 ) E IR+ x IR+ avec r 1 < r2 est
un ensemble ouvert. En effet, son complémentaire dans C qui est l'ensemble
D(O, r 1 ) U CD(O, r2 ) est la réunion de deux ensembles fermés.
3. Le cercle C(zo,r) = {z E C; lz-z o l = r } où zo E Ce t r E IR+ est un
ensemble fermé car son complémentaire dans C qui est D(z0 , r ) U CD(z0 , r ) est
la réunion de deux ensembles ouverts.
On sera attentif au fait que l'intersection d'un nombre infini d'ensembles ouverts n'est pas nécessairement un ensemble ouvert, de même que la réunion
d'un nombre infini d'ensembles fermés n'est pas nécessairement un ensemble
fermé. Par exemple, l'intersection pour tous les entiers naturels n non nuls
des boules ouvertes D(z0 , �) est le singleton {zo} qui est un ensemble fermé
t
'
( 7 )
•
,
e par consequent qm n est pas ouvert.
( s ) Fini, dénombrable .ou infini non dénombrable.
(G) " . 1
. .
d c
d
.
voir a propos1t10n 2.3 p. 30 u ours e première an née.
< 7 > Rappelons que les seuls sous-ensembles de