Table des matières
xiii
4. 2 Topologie du plan complexe . .
4. 2. 1 Ouverts et fermés de
164
168
170
173
173
175
176
178
178
181
184
189
189
191
4. 2. 2 Intérieur et adhérence d'un ensemble .
4. 2. 3 Arcs géométriques dans le plan complexe
4. 3 Fonctions complexes d'une variable complexe
4. 3. l Généralités ....
4. 3. 2 Qu elques exemples
4. 3. 3 Représentations graphiques
4. 4 Limite d'une fonction de la variable complexe
4. 4. 1 Définition de la limite
4. 4. 2 Étude de la limite . .
4. 4. 3 Propriétés de la limite
4. 5 Continuité d'une fonction de la variable complexe .
4. 5.1
4. 5.2
Définitions et premières propriétés . . . . .
Opérations algébriques sur les applications continues
4. 6 Dérivabilité d'une fonction de la variable complexe . . . .
193
4. 6. 1 Fonctions holomorphes et fonctions différentiables
193
4. 6. 2 Propriétés des fonctions holomorphes .
198
4. 6. 3 Dérivées successives . . . . . . . .
202
4. 7 Fonctions usuelles de la variable complexe
204
4. 7. l La fonction exponentielle . . . . .
204
4. 7. 2 Fonctions trigonométriques circulaires et hyperboliques
208
4. 7. 3 La fonction logarithme . . . . . . . . . . . . .
213
4. 8 Suites et séries de fonctions de la variable complexe .
216
4. 8. l Suites de fonctions de la variable complexe
216
4. 8.2 Séries de fonctions de la variable complexe .
217
4. 8.3 Continuité des fonctions usuelles
218
4. 9 Exercices de synthèse .
220
4. 10 Solutions des exercices
222
5 Séries entières
231
5. 1 Série entière de la variable complexe
5. 1. 1 Généralités sur les séries entières
5. 1. 2 Rayon de convergence d'une série entière .
5. 1. 3 Détermination du rayon de convergence
5. 1. 4 Convergence uniforme d'une série entière
231
231
232
237
246
xiii
4. 2 Topologie du plan complexe . .
4. 2. 1 Ouverts et fermés de
164
168
170
173
173
175
176
178
178
181
184
189
189
191
4. 2. 2 Intérieur et adhérence d'un ensemble .
4. 2. 3 Arcs géométriques dans le plan complexe
4. 3 Fonctions complexes d'une variable complexe
4. 3. l Généralités ....
4. 3. 2 Qu elques exemples
4. 3. 3 Représentations graphiques
4. 4 Limite d'une fonction de la variable complexe
4. 4. 1 Définition de la limite
4. 4. 2 Étude de la limite . .
4. 4. 3 Propriétés de la limite
4. 5 Continuité d'une fonction de la variable complexe .
4. 5.1
4. 5.2
Définitions et premières propriétés . . . . .
Opérations algébriques sur les applications continues
4. 6 Dérivabilité d'une fonction de la variable complexe . . . .
193
4. 6. 1 Fonctions holomorphes et fonctions différentiables
193
4. 6. 2 Propriétés des fonctions holomorphes .
198
4. 6. 3 Dérivées successives . . . . . . . .
202
4. 7 Fonctions usuelles de la variable complexe
204
4. 7. l La fonction exponentielle . . . . .
204
4. 7. 2 Fonctions trigonométriques circulaires et hyperboliques
208
4. 7. 3 La fonction logarithme . . . . . . . . . . . . .
213
4. 8 Suites et séries de fonctions de la variable complexe .
216
4. 8. l Suites de fonctions de la variable complexe
216
4. 8.2 Séries de fonctions de la variable complexe .
217
4. 8.3 Continuité des fonctions usuelles
218
4. 9 Exercices de synthèse .
220
4. 10 Solutions des exercices
222
5 Séries entières
231
5. 1 Série entière de la variable complexe
5. 1. 1 Généralités sur les séries entières
5. 1. 2 Rayon de convergence d'une série entière .
5. 1. 3 Détermination du rayon de convergence
5. 1. 4 Convergence uniforme d'une série entière
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