)3
i (2 + 2(x - 1) ln(n) + (x - 1) 2 ln(n) 2 ) .
x -1 n x -
Pour tout x E]l, +oo[, on a

décroissante sur ]1, +oo[. Comme lim x -+t+ pas bornée et par conséquent la convergence sur ]1, +oo[ de la suite (f�)n
vers g n'est pas uniforme.
4 - a) Pour x > 1 on a limn-+ + oo exp((l - x) ln(n)) = 0 et pour x < 1 on a
limn-+ + oo exp((l - x) ln(n)) = +oo. On déduit de l'expression de fn (x) que la
suite numérique de terme général fn (x) converge si et seulement si x > 1. Sa
limite est x : i . Cela signifie que la suite de fonctions Un)n converge simplement
sur ]1, +oo[ vers f: x E]l, +00[1-t x : t .
b) Le théorème 2.5 indique que si Un)n est une suite d'applications de
I =]1, +oo[ dans IR. telle que :
1. pour tout n EN l'application f n est de classe c i sur I;
2. la suite d'applications (f�)n converge uniformément sur I vers une application g de I dans IR. ;
3. il existe un réel xo E I tel que la suite numérique de terme général f n(xo)
converge ;
alors la suite Un)n converge simplement sur I vers une application f qui est
de classe c i sur I et qui admet pour dérivée f ' = g.
Dans le cas traité ici, les conditions 1 et 3 sont satisfaites mais pas la condition 2. La conclusion du théorème est toutefois vraie. La seconde condition
du théorème est donc une condition suffisante mais ce n'est pas une condition
nécessaire.