Suites de fonctions
D'après la formule de Stirling, on a n! "' J27m (!!.) n et par conséquent
+ oo
e
=
n 2
1
( ) 2 n +l
Vn (2 n ) 2
( J2rn (�) ) y'27r(2n + 1) 2n : 1
vn (2 n ) 2 27r n (� f
n
(2 n ) 2 Vn � e
yf2n + 1
l
( e ) 2 n+l
v'21f v2n + 1 2n + 1
(
_
n ) 2 n +l
2n + 1
. Vn v'21f e
v2n + 1 2
(
_
n ) 2 n +l
2n + 1
109
Vn
( ) 2 n +l
On a lim � = � et _
n
_
=exp(-(2n + 1) ln(l + f ))
n-+ + oo 2n + 1 y 2
2n + 1
n
admet pour limite 1/e car (2n + 1) 111(1 + f) "' 2 � +i "' 1. On en déduit que
n + oo n + oo
la suite (ln)n converge vers �.JK.
3 - Appliquons la proposition 2.7 à la suite (Fn)n· Cette suite converge uniformément sur [O, +oo[ vers F et les applications Fn admettent toutes une limite
quand x tend vers +oo qui est f 0 +00 fn (t) dt= f 0 ..;n fn (t) dt= ln. On a donc,
r oo
J o
e -t 2 dt
lim F(x) = lim lim Fn(x)
x -+ + oo
x -+ + oo n-+ + oo
= lim lim Fn (x) = lim ln = - 2
1 J?r.
n-+ + oo x -+ + oo
n-+ + oo
On en conclut que J 0 +00 e-t 2 dt = �.JK.
SOLUTION DE L'EXERCICE 2.10
1 - Pour x =f. 1 on a
[ 1 1 ] n 1 ( 1 )
J n(x) = 1 - X t x - 1 1 = 1 - X n x - 1 - 1
l n l
et f n(l) = - dt = ln(n) .
1 t
2 - a) Pour x =f. 1 on a
1 ( 1 )
1
- 1 - --=ï = fn (x) = -- 1 (1 - exp((l - x) ln(n))) .
x -1
n x
x -
Or eu = 1 + u + �u 2 + oo(u 2 ) donc
exp((l - x) ln(n)) = 1 + (1 - x) ln(n) + � (1-x) 2 ln 2 (n) + o1 ((1 - x) 2 )
et
1
.
fn (x) = ln(n) - 2 (1 - x) ln 2 (n) + 0
1
(1 - x) .