Suites de fonctions
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Intéressons-nous maintenant à l'intervalle [a, +oo[. Comme pour tous n EN et
x E JR. + on a fn (x) E [O, 1] et comme la fonction exponentielle est croissante,
on obtient pour tout x E [a, +oo[
0 � f(x) - fn (x) = e - x 2 - fn (x) � e - x 2 � e - a 2 •
Si a est tel que e - a 2 � € alors pour tout x E [a, +oo[ on a lf(x) - fn (x)I � €.
On en conclut que pour tout € E JR.+, il existe un entier naturel N tel que pour
tout entier n �Net pour tout x E [O, +oo[ on a lf(x) - fn (x)I � €. D'après la
définition 2.2, cela signifie que la suite Un)n converge uniformément sur JR.+.
2 - a) La suite (Fn)n converge uniformément sur lR. + vers l'application F si la
suite numérique de terme général Vn = sup x EIR + IFn(x) - F(x)I converge vers O.
Pour tout x E lR. + on a
IFn(x) - F(x) I
l l
x fn (t) dt - l
x
J(t) dt
l
=
l l
x (fn(t) - J(t)) dt
l
� l
x
lfn(t) - f(t)J dt.
Soit a un réel strictement positif fixé. Pour tout n E N avec n > E(a 2 ), en
2 ( 2 ) n
notant O:n = 1. - e - a 1 - � , on déduit de la question 1-d) que
- pour x E [O, a],
IFn(x) - F(x)I � t sup lfn (t) - f(t)I dt = XO:n � a o:n,
J o t E[O, a)
- et pour x E]a, +oo[,
IFn(x) - F(x) I � r lfn (t) - f(t)I dt + l
x
1 fn (t) -f(t)I dt
J o
a '-v-" = 0
� a o:n + 1
x
Jf(t)I dt � a an + 1
+ oo
e -t 2 dt.
Cela implique que pour tout n EN avec n > E(a 2 ) on a
1
+ 00
Vn = max ( sup IFn(x) - F(x)I , sup IFn(x) - F(x)I ) � a o:n + e -t 2 dt.
xE[ O, a)
xE)a , + oo[
a
Comme limn_, + 00 Œn = 0, la limite f. (si elle existe) de la suite (vn)n vérifie
0 � f. � f a
+ oo e -t 2 dt. Cette relation est vraie pour tout réel a > O. Comme
l'intégrale généralisée J 0 + 00 e -t 2 dt converge, on a lim a _, + 00 f a
+ oo e-t 2 dt = O.
Le théorème d'encadrement permet d'en déduire que f. = 0, autrement dit
que la suite (vn)n converge vers O. On en conclut que la suite (Fn)n converge
uniformément sur [O, +oo[.