Suites de fonctions
Commençons par déterminer l'expression de Un· Pour tout x E JR, on a
fn (x) - f(x) = nexp ( x 2 ) - __±_
_
x 2 .
n
n2 +1
103
Pour étudier les variations de f n - f, étudions pour n E N* fixé la fonction X 1-+ nexp (x 2 /n) -x 2 - s: 1 · Cette fonction est définie sur lR et est paire. Elle
est de classe C00 sur lR et pour tout x E lR on a La fonction exponentielle est strictement croissante sur lR et prend la valeur 1
en O. Comme x 2 /n est un réel positif, on a (exp ( x 2 /n) - 1) > 0 pour tout
x E JR* et X
0
a
/
n
On déduit de ce tableau de variation que son maximum sur 1-a, a] en a. On a donc
Un = n
: 1 ) ·
On déduit de la relation (24) que
Un = � ( � 4 + l ) + o+ 00 (n - 1 ) n-+oo � ( � 4 + 1 )
ce qui permet d'affirmer que la suite (un)n converge vers O. Il y a donc convergence uniforme de Un)n vers f sur tout intervalle de la forme [-a, a].
b) Comme lim x - + oo On en déduit qu'il n'y a pas convergence uniforme de Un)n vers f sur R
3 - La primitive Fn de f n qui vérifie Fn(O) = 0 est donnée par
't/x E lR Fn(x) = fo
x fn (t) dt.
Comme f n est une application paire, pour tout x E lR on a :
Fn(-x) = fo
- x fn (t) dt = - fo
x fn (-t) dt = - fo
x fn (t) dt = -Fn(x),
ce qui signifie que Fn est impaire. Étudions l'application Fn sur JR + . Pour un
réel x > 0 fixé, fn étant continue sur JR, elle est continue sur [O, x] et par
conséquent Riemann-intégrable sur [O, xj. De plus, la suite Un)n convergeant
uniformément sur tout intervalle de la forme [-a, a] avec a E JR+, elle converge
aussi uniformément sur [ü, xj. Le théorème 2.4 p. 90 permet d'écrire :
lim Fn(x) = lim r fn (t) dt = r lim fn (t) dt
n- + oo
n- + oo.fo
.fo n- + oo
r
r
1
=
J o f(t) dt =
J o t 2 dt = 3 x 3 .
Commençons par déterminer l'expression de Un· Pour tout x E JR, on a
fn (x) - f(x) = nexp ( x 2 ) - __±_
_
x 2 .
n
n2 +1
103
Pour étudier les variations de f n - f, étudions pour n E N* fixé la fonction X 1-+ nexp (x 2 /n) -x 2 - s: 1 · Cette fonction est définie sur lR et est paire. Elle
est de classe C00 sur lR et pour tout x E lR on a La fonction exponentielle est strictement croissante sur lR et prend la valeur 1
en O. Comme x 2 /n est un réel positif, on a (exp ( x 2 /n) - 1) > 0 pour tout
x E JR* et X
0
a
/
n
On déduit de ce tableau de variation que son maximum sur 1-a, a] en a. On a donc
Un = n
: 1 ) ·
On déduit de la relation (24) que
Un = � ( � 4 + l ) + o+ 00 (n - 1 ) n-+oo � ( � 4 + 1 )
ce qui permet d'affirmer que la suite (un)n converge vers O. Il y a donc convergence uniforme de Un)n vers f sur tout intervalle de la forme [-a, a].
b) Comme lim x - + oo On en déduit qu'il n'y a pas convergence uniforme de Un)n vers f sur R
3 - La primitive Fn de f n qui vérifie Fn(O) = 0 est donnée par
't/x E lR Fn(x) = fo
x fn (t) dt.
Comme f n est une application paire, pour tout x E lR on a :
Fn(-x) = fo
- x fn (t) dt = - fo
x fn (-t) dt = - fo
x fn (t) dt = -Fn(x),
ce qui signifie que Fn est impaire. Étudions l'application Fn sur JR + . Pour un
réel x > 0 fixé, fn étant continue sur JR, elle est continue sur [O, x] et par
conséquent Riemann-intégrable sur [O, xj. De plus, la suite Un)n convergeant
uniformément sur tout intervalle de la forme [-a, a] avec a E JR+, elle converge
aussi uniformément sur [ü, xj. Le théorème 2.4 p. 90 permet d'écrire :
lim Fn(x) = lim r fn (t) dt = r lim fn (t) dt
n- + oo
n- + oo.fo
.fo n- + oo
r
r
1
=
J o f(t) dt =
J o t 2 dt = 3 x 3 .