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Solutions des exercices
- Si 1 + x > 0, i.e. si x E] - 1, +oo[, alors (19) équivaut à x > -n(l + x) ,
autrement dit à X > - n� i ·
Comme - n� i < -1, on en déduit que fn est défini sur
n
'Dn =] - oo, -l[U] - n + 1
, +oo[.
La suite de fonctions Un )n est donc définie sur
V = n 'Dn =] - oo, -l[U] - �' +oo[.
nE Jll *
2 - Montrer que la suite de fonctions Un )nEN* converge simplement sur V,
revient à montrer que pour tout x EV fixé, la suite numérique réelle Un (x))n
converge. Soit x un élément de V; comme lim �+ = 0 et ln(l+u) ,... ., u, on
n-++oo n \ i- rx 1
0
a f n (X) rv ( - 1 ) n
e t + ) . Deux suites réelles dont les termes sont équivalents
n-++oo
n x
en +oo convergent vers une même limite ou divergent simultanément
<30> , donc
pour tout x E V fixé, la suite numérique réelle Un (x))n converge vers O. Par
conséquent, la suite de fonctions Un )nEN· converge simplement sur V vers la
fonction nulle.
3 - La suite de fonctions Un )nEN* converge uniformément sur V vers la fonction
nulle f si la suite numérique réelle ( un)n de terme général
Un= sup l fn (x) - f(x) I = sup l ln (1 + (
X
) ) 1
xEV
xEV
n 1 + X
converge vers O.
Afin d'étudier la nature de la suite (un)n, commençons par étudier, pour
n E N* fixé, l'application 1/Jn : x E V 1-+ ln ( 1 + n( i � x ) ). Puisque l'application
x E V 1-+ 1 + n( i � x ) E]O, +oo[ est de classe c i sur V et que la fonction logarithme est de classe c i sur JO, +oo[, l'application 1/Jn est de classe c i sur V. De
plus, pour x E V on a
.p� (x) �
1
( )
( n + 1) (X + 1) x + n� i
Le signe de 1/J� (x) est celui du produit (x + 1) x ( x + n� i ). On obtient le
tableau de variation suivant pour 1/Jn :
X
- OO
-1 I l
Il
- t
+oo
1/J� (x)
+
Il
Il
+
+oo Il
Il
ln(l + *)
1/Jn (x)
/
Il
Il
/
ln(l + *)
Il
Il ln(l - *)
<30> voir la proposition 15.10 p. 701 du Cours de première année.