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Propriétés de la limite d'une suite d'applications réelles
(on dit que la suite Un )n est dominée un iformément par M sur [a, b]) alors
lb lim fn (x) dx = lim lb fn (x) dx.
a n ->+oo
n ->+oo a
Exercice 2. 7 On considère la suite d'applications Un )n E N* défin ie par
fn : X E R � n ( exp (: ) - n2
n
: 1 ) .
1 - Montrer que Un )n converge simplement sur R vers f : x E R 1-+ x 2 .
0
2 - a) Montrer que Un )n converge un iformément sur tout in tervalle de la
forme [- a:, a] où a: E R'f_.
b) Un )n converge-t-elle un iformément sur R?
3 - Pour tout n E N*, on note Fn la primitive de fn qui vérifie Fn (O) = O.
Montrer que la suite d'applications (Fn )n E N* converge simplement sur R
vers l'application F: x E R 1-+ x3 .
2.3.4 Limite uniforme d'une suite d'applications dérivables
Soient I un in tervalle ouvert de R et Un )n un e suite d'application s de I dans R
dérivables sur I. On se pose la question de savoir à quelle(s) condition (s) la limite f de la suite Un )n est elle-même un e application dérivable. Contrairement
à ce qui a été vu avec la contin uité et l'intégrabilité, la convergence un iforme
de la suite Un )n sur I n'est pas un e condition suffisante pour assurer la dérivabilité de l'application f sur I. Pour l'établir, il suffit de considérer la suite
d'applications Un )n de terme gén éral fn : x E R 1-+ Jx2 + 1/n2 . Nous avon s
montré p. 75 que cette suite convergeait un iformément sur R vers la fonc tion
valeur absolue. Toutefois, bien que chacune des applications f n soit dérivable
sur R, l'application valeur absolue vers laquelle cette suite converge n'est pas
dérivable en O.
Le théorème suivan t donne des conditions suffisantes qui permettent d'affirmer
que la limite d'une suite d'applications dérivables est elle-même dérivable.
THÉORÈME 2.5 Soient I un intervalle ouvert et Un )n une suite d'applications de I dans R. Si
1. pour tout n EN l'application fn est de classe c i sur I;
2. la suite d'applications (f�)n converge uniformément sur I vers une application g de I dans R ;
3. il existe un réel xo E I tel que la suite numérique de terme général f n ( xo)
converge ;
alors la suite Un )n converge simplement sur I vers une application f qui est
de classe c i sur I et qui admet pour dérivée f ' = g.
Propriétés de la limite d'une suite d'applications réelles
(on dit que la suite Un )n est dominée un iformément par M sur [a, b]) alors
lb lim fn (x) dx = lim lb fn (x) dx.
a n ->+oo
n ->+oo a
Exercice 2. 7 On considère la suite d'applications Un )n E N* défin ie par
fn : X E R � n ( exp (: ) - n2
n
: 1 ) .
1 - Montrer que Un )n converge simplement sur R vers f : x E R 1-+ x 2 .
0
2 - a) Montrer que Un )n converge un iformément sur tout in tervalle de la
forme [- a:, a] où a: E R'f_.
b) Un )n converge-t-elle un iformément sur R?
3 - Pour tout n E N*, on note Fn la primitive de fn qui vérifie Fn (O) = O.
Montrer que la suite d'applications (Fn )n E N* converge simplement sur R
vers l'application F: x E R 1-+ x3 .
2.3.4 Limite uniforme d'une suite d'applications dérivables
Soient I un in tervalle ouvert de R et Un )n un e suite d'application s de I dans R
dérivables sur I. On se pose la question de savoir à quelle(s) condition (s) la limite f de la suite Un )n est elle-même un e application dérivable. Contrairement
à ce qui a été vu avec la contin uité et l'intégrabilité, la convergence un iforme
de la suite Un )n sur I n'est pas un e condition suffisante pour assurer la dérivabilité de l'application f sur I. Pour l'établir, il suffit de considérer la suite
d'applications Un )n de terme gén éral fn : x E R 1-+ Jx2 + 1/n2 . Nous avon s
montré p. 75 que cette suite convergeait un iformément sur R vers la fonc tion
valeur absolue. Toutefois, bien que chacune des applications f n soit dérivable
sur R, l'application valeur absolue vers laquelle cette suite converge n'est pas
dérivable en O.
Le théorème suivan t donne des conditions suffisantes qui permettent d'affirmer
que la limite d'une suite d'applications dérivables est elle-même dérivable.
THÉORÈME 2.5 Soient I un intervalle ouvert et Un )n une suite d'applications de I dans R. Si
1. pour tout n EN l'application fn est de classe c i sur I;
2. la suite d'applications (f�)n converge uniformément sur I vers une application g de I dans R ;
3. il existe un réel xo E I tel que la suite numérique de terme général f n ( xo)
converge ;
alors la suite Un )n converge simplement sur I vers une application f qui est
de classe c i sur I et qui admet pour dérivée f ' = g.