Suites de fonctions
P
f
.
· 1 f
(19)
our montrer que est contmue en x0, i aut montrer que
87
Ve E �� 317 E �� Vx E I (/x - xo / ::( 1J ===? /f(x) - f(xo)/ ::( c) . (11)
Pour c réel strictement positif fixé, déterminons un réel 1J strictement positif
tel que pour tout réel x E I avec /x - xo/ ::( 1J on ait /J(x) - J (xo) / ::( c.
Prenons c 2
=
! c dans l'assertion (9) : il existe N 2 E N tel que pour tout
réel x E I et pour tout entier n ;? N 2 on ait /fn(x) - f(x) / ::(
!
c. Pour
n ;? N 2 considérons à présent l'assertion (10) avec c1 = ! c : il existe un
réel 171 strictement positif tel que pour tout réel x vérifiant /x - Xo / ::( 111 on ait
/fn(x) - fn(xo) / ::(
!
c.
On en déduit que pour n ? N 2 et x E I tel que /x - xo/ ::( 111 on a
/J(x) - f(xo) / = /f(x) - fn(x) + fn(x) - fn(xo) + fn(xo) - f(xo) /
::( /J(x) - fn(x)/ + /fn(x) - fn(xo) / + /fn(xo) - f(xo) /.
Or, on a les majorations suivantes des différents termes du membre de droite :
- /f(x) - fn(x)/ ::(
!
c d'après (9);
- /fn(x) - fn(xo) / ::(
! c d'après (10) ;
- /f n(xo) - f (xo) / ::(
!
c d'après (9) considérée avec le réel xo .
On obtient ainsi,
/f (x) - f(xo) / ::(
!
c + ! c + !
c = c.
L'assertion (11) est démontrée : le réel 1J = 171 convient.
D
Remarques
1. Le théorème 2.3 exprime le fait que si Un)n est une suite d'applications
continues de I dans � convergeant uniformément sur I alors la limite de cette
suite est une application de I dans � continue sur l. On peut noter que pour
que f soit continue en x0, il suffit que pour tout n E N l'application f n soit
continue en Xo E I et que la suite Un)n converge uniformément vers f sur un
voisinage de x0 (et pas nécessairement sur I en entier) .
2. On peut remplacer dans l'énoncé du théorème 2.3 le terme « continue» par
« continue à droit� » ou par « continue à gauche »
<20> •
3. Le résultat du théorème 2.3 reste vrai si les applications f n ne sont continues
qu'à partir d'un certain rang.
4. La convergence uniforme d'une suite d'applications continues est une condition suffisante pour que l'application limite soit continue. Elle n'est toutefois
pas nécessaire. Nous avons montré p. 74, que la suite d'applications continues
Un)n de terme général fn : x EJO, +oo[� e - n x convergeait simplement mais
pas uniformément vers la fonction nulle sur JO, +oo[. Pourtant l'application
nulle est bien continue sur JO, +oo[.
o
<20> voir la définition 13.5 p. 590 du Cours de première année.
P
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· 1 f
(19)
our montrer que est contmue en x0, i aut montrer que
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Ve E �� 317 E �� Vx E I (/x - xo / ::( 1J ===? /f(x) - f(xo)/ ::( c) . (11)
Pour c réel strictement positif fixé, déterminons un réel 1J strictement positif
tel que pour tout réel x E I avec /x - xo/ ::( 1J on ait /J(x) - J (xo) / ::( c.
Prenons c 2
=
! c dans l'assertion (9) : il existe N 2 E N tel que pour tout
réel x E I et pour tout entier n ;? N 2 on ait /fn(x) - f(x) / ::(
!
c. Pour
n ;? N 2 considérons à présent l'assertion (10) avec c1 = ! c : il existe un
réel 171 strictement positif tel que pour tout réel x vérifiant /x - Xo / ::( 111 on ait
/fn(x) - fn(xo) / ::(
!
c.
On en déduit que pour n ? N 2 et x E I tel que /x - xo/ ::( 111 on a
/J(x) - f(xo) / = /f(x) - fn(x) + fn(x) - fn(xo) + fn(xo) - f(xo) /
::( /J(x) - fn(x)/ + /fn(x) - fn(xo) / + /fn(xo) - f(xo) /.
Or, on a les majorations suivantes des différents termes du membre de droite :
- /f(x) - fn(x)/ ::(
!
c d'après (9);
- /fn(x) - fn(xo) / ::(
! c d'après (10) ;
- /f n(xo) - f (xo) / ::(
!
c d'après (9) considérée avec le réel xo .
On obtient ainsi,
/f (x) - f(xo) / ::(
!
c + ! c + !
c = c.
L'assertion (11) est démontrée : le réel 1J = 171 convient.
D
Remarques
1. Le théorème 2.3 exprime le fait que si Un)n est une suite d'applications
continues de I dans � convergeant uniformément sur I alors la limite de cette
suite est une application de I dans � continue sur l. On peut noter que pour
que f soit continue en x0, il suffit que pour tout n E N l'application f n soit
continue en Xo E I et que la suite Un)n converge uniformément vers f sur un
voisinage de x0 (et pas nécessairement sur I en entier) .
2. On peut remplacer dans l'énoncé du théorème 2.3 le terme « continue» par
« continue à droit� » ou par « continue à gauche »
<20> •
3. Le résultat du théorème 2.3 reste vrai si les applications f n ne sont continues
qu'à partir d'un certain rang.
4. La convergence uniforme d'une suite d'applications continues est une condition suffisante pour que l'application limite soit continue. Elle n'est toutefois
pas nécessaire. Nous avons montré p. 74, que la suite d'applications continues
Un)n de terme général fn : x EJO, +oo[� e - n x convergeait simplement mais
pas uniformément vers la fonction nulle sur JO, +oo[. Pourtant l'application
nulle est bien continue sur JO, +oo[.
o
<20> voir la définition 13.5 p. 590 du Cours de première année.