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Convergence simple et convergence uniforme
simplement sur X si et seulement si pour tout x E X la suite numérique de .
terme général fn(x) converge vers f(x).
!::: : Supposons que les deux suites d'applications Un)n et (gn)n de X dans lR
convergent uniformément sur X vers les applications f et g. D'après la proposition 2.2, les suites numériques de terme général Un = Il! - fnll oo,X et
Vn = ll g - 9n
ll oo,X convergent vers O. En utilisant la troisième relation de la
proposition 2.1, on obtient pour tout n EN,
Il(! + g) - Un + 9n)
ll oo,X
I
l (! - fn) + (g - 9n)
ll oo,X
:::; ; l l J - fn ll oo,X +
ll g - 9n
l l oo,X ·
On déduit de cette inégalité que la suite numérique dont.le terme général est
Wn = I
l (! + g) - Un + gn) ll oo,X converge vers O. La proposition 2.2 permet de
conclure que la suite d'applications de terme général f n + 9 n converge uniformément sur X vers f + g.
!::: : Pour démontrer que pour tout>. E lR la suite d'applications de terme général
>. · f n converge uniformément sur X vers >. · f, on procède de manière analogue
en ayant recours cette fois � la seconde relation de la proposition 2.1.
0
Comme la suite nulle converge simplement (resp. uniformément), la proposition 2.3 exprime le fait que l'ensemble des suites d'applications de X dans lR
qui convergent simplement (resp. uniformément) est un sous-espace vectoriel
de S(X, JR).
Convergence uniforme et applications bornées
Si la suite (f n )n converge uniformément vers f sur X, alors à partir d'un certain
rang toutes les applications f n - f sont bornées car d'après l'assertion (3), on a
3N1 EN 'in E N (n?;: N 1 =}
ll fn - f ll oo,X � 1).
(4)
Par contre, si une suite d'applications Un)n de X dans lR converge uniformément sur X vers une application f de X dans JR, il se peut qu'aucune des
applications fn ne soit bornée (seules les applications f n - f sont bornées).
Dans ce cas, l'application f n'est pas bornée.
Soit Un)n une suite d'éléments de l'ensemble B ( X, JR) des applications de X
(G)
dans lR bornées ; on a
'in EN 3Mn E JR + 'ix EX l fn(x)I:::; ; Mn.
Si la suite (f n)n converge uniformément sur X vers une application f de X
dans JR, alors l'application f est nécessairement bornée car en considérant l'entier N 1 défini par (4) , on a
(G l Voir le Cours de première année p. 566.
Convergence simple et convergence uniforme
simplement sur X si et seulement si pour tout x E X la suite numérique de .
terme général fn(x) converge vers f(x).
!::: : Supposons que les deux suites d'applications Un)n et (gn)n de X dans lR
convergent uniformément sur X vers les applications f et g. D'après la proposition 2.2, les suites numériques de terme général Un = Il! - fnll oo,X et
Vn = ll g - 9n
ll oo,X convergent vers O. En utilisant la troisième relation de la
proposition 2.1, on obtient pour tout n EN,
Il(! + g) - Un + 9n)
ll oo,X
I
l (! - fn) + (g - 9n)
ll oo,X
:::; ; l l J - fn ll oo,X +
ll g - 9n
l l oo,X ·
On déduit de cette inégalité que la suite numérique dont.le terme général est
Wn = I
l (! + g) - Un + gn) ll oo,X converge vers O. La proposition 2.2 permet de
conclure que la suite d'applications de terme général f n + 9 n converge uniformément sur X vers f + g.
!::: : Pour démontrer que pour tout>. E lR la suite d'applications de terme général
>. · f n converge uniformément sur X vers >. · f, on procède de manière analogue
en ayant recours cette fois � la seconde relation de la proposition 2.1.
0
Comme la suite nulle converge simplement (resp. uniformément), la proposition 2.3 exprime le fait que l'ensemble des suites d'applications de X dans lR
qui convergent simplement (resp. uniformément) est un sous-espace vectoriel
de S(X, JR).
Convergence uniforme et applications bornées
Si la suite (f n )n converge uniformément vers f sur X, alors à partir d'un certain
rang toutes les applications f n - f sont bornées car d'après l'assertion (3), on a
3N1 EN 'in E N (n?;: N 1 =}
ll fn - f ll oo,X � 1).
(4)
Par contre, si une suite d'applications Un)n de X dans lR converge uniformément sur X vers une application f de X dans JR, il se peut qu'aucune des
applications fn ne soit bornée (seules les applications f n - f sont bornées).
Dans ce cas, l'application f n'est pas bornée.
Soit Un)n une suite d'éléments de l'ensemble B ( X, JR) des applications de X
(G)
dans lR bornées ; on a
'in EN 3Mn E JR + 'ix EX l fn(x)I:::; ; Mn.
Si la suite (f n)n converge uniformément sur X vers une application f de X
dans JR, alors l'application f est nécessairement bornée car en considérant l'entier N 1 défini par (4) , on a
(G l Voir le Cours de première année p. 566.