I.3. Fonctions convexes
Remarque : L’ensemble des λ vérifiant Ax − b + B λ = 0 est l’ensemble des
multiplicateurs de Lagrange associé à x. C’est un sous-espace affine de R M , de
la forme λ + Ker(B ). Il est réduit à {λ} lorsque B est surjective (i.e., lorsque
les m vecteurs-lignes de B sont linéairement indépendants), ce qu’indiquait
déjà le théorème de Lagrange.
b) Puisque Ax − b ∈ Im(B ) = (Ker B) ⊥ , on a Ax − b, x = 0, soit
Ax, x = b, x.
D’où f (x) = −
1
2 Ax, x = −
1
2 b, x.
B – 1 ◦ ) a) Soit (x 0 , λ 0 ) ∈ R N × R M . Par définitions,
inf
x∈R N
L(x, λ) L(x 0 , λ 0 ) sup
λ∈R M
L(x, λ).
D’où :
sup
λ∈R M
inf
x∈R N
L(x, λ)
inf
x∈R N
sup
λ∈R M
L(x, λ)
.
b) Considérons maintenant un point-selle (x, λ) de L sur R N × R M . On a :
L(x, λ) = inf
x∈R N
L(x, λ) sup
λ∈R M
inf
x∈R N
L(x, λ)
;
L(x, λ) = sup
λ∈R M
L(x, λ) inf
x∈R N
sup
λ∈R M
L(x, λ)
.
Par suite :
sup
λ∈R M
inf
x∈R N
L(x, λ)
supremum atteint pour λ = λ
=
inf
x∈R N
sup
λ∈R M
L(x, λ)
infimum atteint pour x = x
= L(x, λ).
2 ◦ ) a) L(x, λ) = f (x) + λ, Bx ; L r (x, λ) = L(x, λ) +
r
2 B Bx, x. Alors :
– λ maximise L r (x, ·) sur R M si et seulement si ∇ λ L r (x, λ) = Bx = 0 ;
– x minimise la fonction quadratique convexe L r (·, λ) sur R N si et seulement si
∇ x L r (x, λ) = Ax − b + B
λ + rB
Bx = 0.
b) Pour r 0 donné, un point-selle de L r est exactement un couple (x, λ) de
R N × R M vérifiant
Bx = 0 et (A + rB
B)x + B
λ = b,
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