I.3. Fonctions convexes
1 ◦ ) Établir les relations suivantes :
(A + rB
B)(x n − x) + B
(λ n − λ) = 0 ;
λ n+1 − λ = λ n − λ + ρ n B(x n − x).
En déduire
λ n+1 − λ
2 = λ n − λ
2
−2 ρ n A(x n − x), x n − x
+ ρ n (ρ n − 2r) B(x n − x)
2 .
2 ◦ ) On suppose désormais ρ n ∈ [α 0 , α 1 ] pour tout n, où :
0 < α 0 < α 1 < 2
r +
1
σ ∗
,
σ ∗ := la plus grande valeur propre de A
−1 B
B.
(On admettra ici que le spectre de A −1 B B est constitué de réels 0 et
que σ ∗ = sup u = 0
Bu 2
Au,u ; cf. Exercice 1.17).
a) Démontrer que la suite
λ n − λ 2
n
est décroissante.
b) Montrer que :
lim
n−→+∞
B(x n − x) = 0 ;
lim
n−→+∞
A(x n − x), x n − x = 0.
Déduire de ce qui précède : lim
n−→+∞
x n = x.
3 ◦ ) Montrer également que la suite (λ n ) converge quand n −→ +∞ vers
λ ∞ =
λ + λ 0,2 , où λ 0,2 est la composante de λ 0 dans Ker(B ) provenant
de la décomposition ImB ⊕ Ker(B ) de R M , et
λ le multiplicateur de
Lagrange de norme minimale dans R M pour le problème (P) en question.
Commentaire : Ce problème, dans lequel apparaissent bien des aspects de l’Optimisation, peut être abordé sans aucune connaissance spécifique à ce domaine ;
seuls sont utilisés les résultats et techniques dans les thèmes qui font l’objet de
révisions dans ce chapitre.
Solution : A – 1 ◦ ) f est de classe C ∞ sur R N ; ∇f (x) = Ax − b et ∇ 2 f (x) =
A pour tout x ∈ R N .
f est convexe (et même fortement convexe) sur R N .
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