Chapitre VII. Initiation au calcul sous-différentiel et de transformées...
Fort heureusement, il y a une situation, fréquente dans les applications, où
conv f et conv f ne diffèrent pas :
– Si f est semi-continue et 1-coercive sur R n , alors conv f = conv f et, pour
tout x en lequel conv f est finie, il existe des x i ∈ dom f i et des α i positifs de
somme 1 tels que
x =
n+1
i=1
α i x i et (conv f )(x) =
n+1
i=1
α i f (x i ).
Exemple de telle situation : Soient S un fermé non vide de R n et ϕ : R n → R
une fonction continue telle que
lim
x → +∞
x ∈ S
ϕ(x) = +∞ ; alors la fonction
f : x ∈ R n −→ f (x) := ϕ(x) si x ∈ S, +∞ sinon, vérifie les hypothèses du résultat énoncé au-dessus. Voir (7.3) pour un exemple particulier.
Le lien avec la transformation de Legendre-Fenchel s’exprime par la relation
suivante : conv f = f ∗∗ .
Références. Chapitre VI de [12] et Chapitre X de [13].
** Exercice VII.1. Soient k éléments s 1 , . . . , s k de R n .
1 ◦ ) (Lemme de Gordan). Montrer l’équivalence des deux propositions suivantes :
(P 1 ) max i=1,...,k s i , x 0 pour tout x ∈ R n ;
(P 2 ) Il existe α 1 0, . . . , α k 0, non tous nuls, tels que
k
i=1
α i s i = 0.
2 ◦ ) Comparer les propositions suivantes :
(P 3 ) max i=1,...,k s i , x > 0 pour tout x = 0 de R n ;
(P 4 ) Il existe α 1 > 0, . . . , α k > 0, tels que
k
i=1
α i s i = 0, et
vect{s 1 , . . . , s k } = R n .
Commentaire : Pour « visualiser » ces conditions (P i ), il est conseillé de représenter graphiquement la fonction x −→ max i=1,...,k s i , x ainsi que le cône normal
à son épigraphe en l’origine (de R n+1 ).
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Fort heureusement, il y a une situation, fréquente dans les applications, où
conv f et conv f ne diffèrent pas :
– Si f est semi-continue et 1-coercive sur R n , alors conv f = conv f et, pour
tout x en lequel conv f est finie, il existe des x i ∈ dom f i et des α i positifs de
somme 1 tels que
x =
n+1
i=1
α i x i et (conv f )(x) =
n+1
i=1
α i f (x i ).
Exemple de telle situation : Soient S un fermé non vide de R n et ϕ : R n → R
une fonction continue telle que
lim
x → +∞
x ∈ S
ϕ(x) = +∞ ; alors la fonction
f : x ∈ R n −→ f (x) := ϕ(x) si x ∈ S, +∞ sinon, vérifie les hypothèses du résultat énoncé au-dessus. Voir (7.3) pour un exemple particulier.
Le lien avec la transformation de Legendre-Fenchel s’exprime par la relation
suivante : conv f = f ∗∗ .
Références. Chapitre VI de [12] et Chapitre X de [13].
** Exercice VII.1. Soient k éléments s 1 , . . . , s k de R n .
1 ◦ ) (Lemme de Gordan). Montrer l’équivalence des deux propositions suivantes :
(P 1 ) max i=1,...,k s i , x 0 pour tout x ∈ R n ;
(P 2 ) Il existe α 1 0, . . . , α k 0, non tous nuls, tels que
k
i=1
α i s i = 0.
2 ◦ ) Comparer les propositions suivantes :
(P 3 ) max i=1,...,k s i , x > 0 pour tout x = 0 de R n ;
(P 4 ) Il existe α 1 > 0, . . . , α k > 0, tels que
k
i=1
α i s i = 0, et
vect{s 1 , . . . , s k } = R n .
Commentaire : Pour « visualiser » ces conditions (P i ), il est conseillé de représenter graphiquement la fonction x −→ max i=1,...,k s i , x ainsi que le cône normal
à son épigraphe en l’origine (de R n+1 ).
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