Chapitre V. Polyèdres convexes fermés. Optimisation à données affines...
** Exercice V.15. Soient n réels fixés x 1 , . . . , x n et considérons n coefficients
réels α 1 , . . . , α n vérifiant :
(I)
0 α i 1 pour tout i = 1, . . . , n et
n
i=1
α i = m,
où m est un entier compris entre 1 et n.
Désignons par x i 1 , . . . , x im les m plus grands nombres parmi les x 1 , . . . , x n .
1 ◦ ) Montrer par un calcul direct que
n
i=1
α i x i x i 1 + . . . + x im .
(5.25)
2 ◦ ) Soit Π m le polyèdre convexe compact de R n constitué de tous les α =
(α 1 , . . . , α n ) vérifiant (I) .
a) Déterminer les points extrémaux (ou sommets) de Π m .
b) En déduire (5.25) .
Solution : 1 ◦ ) Quitte à changer l’indexation, on suppose x 1 x 2 . . .
x m x m+1 . . . x n .
Si m = n, il n’y a rien à démontrer. Supposons donc m < n.
Comme
m
i=1
(1 − α i ) =
n
i=m+1
α i , nous avons :
n
i=m+1
α i x i
n
i=m+1
α i
x m =
m
i=1
(1 − α i ) x m
m
i=1
(1 − α i ) x i .
D’où
n
i=1
α i x i =
m
i=1
α i x i +
n
i=m+1
α i x i
m
i=1
α i x i +
m
i=1
(1 − α i ) x i =
m
i=1
x i .
2 ◦ ) a) Les points extrémaux de Π m sont de la forme (α 1 , . . . , α n ) avec :
toutes les coordonnées α i sont nulles sauf m d’entre elles qui sont égales à 1
(d’accord ?).
Illustration pour n = 3.
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