Chapitre V. Polyèdres convexes fermés. Optimisation à données affines...
Déterminer en tout x ∈ C le cône normal à C ainsi que son intérieur
relatif (en fonction des données de la représentation de C et de I(x) :=
{i ∈ {1, . . . , p} | |a i , x = b i }).
Solution :
• N (C, x) =
⎧
⎨
⎩
i∈I(x)
t i a i +
q
i=p+1
t i a i | t i 0 pour i ∈ I(x)
⎫
⎬
⎭
.
C’est la somme (vectorielle) de deux ensembles : le cône convexe engendré par les a i , i ∈ I(x), et le sous-espace vectoriel engendré par les
a i , i ∈ {p + 1, . . . , q} .
• ir N (C, x) =
⎧
⎨
⎩
i∈I(x)
t i a i +
q
i=p+1
t i a i | t i > 0 pour i ∈ I(x)
⎫
⎬
⎭
.
* Exercice V.11. Soit B 2 le sous-ensemble des matrices [a ij ] i = 1, 2
j = 1, 2
∈ M 2 (R)
défini par :
([a ij ] ∈ B 2 ) ⇔
⎛
⎜
⎜
⎝
a ij 0 pour tout (i, j ) ;
2
i=1
a ij =
2
j=1
a ij = 1 pour tout (i, j )
⎞
⎟
⎟
⎠ .
Montrer que B 2 est un segment de droite de M 2 (R) dont on déterminera les
extrémités.
Solution : De par les conditions imposées, une matrice M de B 2 est nécessairement de la forme
M =
α 1 − α
1 − α α
, avec α ∈ [0, 1] .
Ainsi M = α
1 0
0 1
+ (1 − α)
0 1
1 0
, où α ∈ [0, 1] .
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