Chapitre V. Polyèdres convexes fermés. Optimisation à données affines...
On a :
α i 0 pour tout i = 1, . . . , n
et
(y 1 , . . . , y n ) =
n
i=1
α i d i .
Nous avons ainsi démontré que
K
◦
2 =
y = (y 1 , . . . , y n ) ∈ R
n
|
n
i=k
y i 0 pour tout k = 1, . . . , n
.
K 3 a un air de ressemblance avec K 1 ; en effet
(x ∈ K 3 ) ⇔ (Ax ∈ K 1 ) ,
où
A :=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 0 . . . . . .
1
2
1
2 0 . . . . . .
1
3
1
3
1
3 0 . . .
. . .
1
n
1
n . . . . . .
1
n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
A est visiblement inversible. La relation
y, x 0 pour tout x ∈ K 3 ,
caractérisant un élément y de K ◦
3 , est équivalente à
y, A
−1 x
0 pour tout x
∈ K 1 ,
soit encore
A
−1
y, x
0 pour tout x
∈ K 1,
c’est-à-dire
A
−1
y ∈ K
◦
1 .
(5.22)
A −1 est aisée à déterminer ici :
A
−1 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 0 0
. . .
0
−1 2 0 0
. . .
0
0 −2 3 0
. . .
0
. . .
. . .
0 0 . . . . . . − (n − 1) n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
186