V.3. La dualité en programmation linéaire
Donc, si x est extrémal dans C, il est donc dans C 0 nécessairement ; et
comme C 0 ⊂ C, x est aussi extrémal dans C 0 .
b) Considérons l’exemple suivant dans R 2 :
Figure 10.
C n’a pas de point extrémal ici. La raison en est que C contient une droite
entière.
On peut en effet montrer que si C ne contient pas de droite, c’est-à-dire en
fait si K ∩ (−K) = {0}, alors C a effectivement au moins un point extrémal.
** Exercice V.8. On considère dans R n , n 2, le cône convexe fermé polyédrique suivant :
K 1 := {x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R
n
| x 1 x 2 . . . x n } .
1 ◦ ) Représenter K 1 sous la forme
{x ∈ R
n
| |x, d i 0 pour tout i = 1, . . . , p} ,
où d 1 , . . . , d p sont des vecteurs de R n à déterminer.
2 ◦ ) Utiliser la représentation obtenue dans la question précédente pour démontrer que le cône polaire de K 1 est
K
◦
1 =
y = (y 1 , . . . , y n ) ∈ R
n
|
k
i=1
y i 0 pour tout k = 1, . . . , n − 1
et
n
i=1
y i = 0
.
3 ◦ ) Déduire de ce qui précède des vecteurs a 1 , . . . , a q tels que K 1 =
cône {a 1 , . . . , a q }.
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