Chapitre IV. Mini-maximisation. Dualisation de problèmes...
Soit ˆ
L r : ((x, y), λ) ∈ (R n × R p ) × R p −→ ˆ
L r (x, y, λ) le lagrangien augmenté
associé à ( ˆ
Q) suivant la définition (4.5) . Comme l’expression de la fonction duale
dérivée de ˆ
L r conduit à calculer
λ ∈ R
p
−→
inf
(x,y)∈R n ×R p
ˆ
L r (x, y, λ) = inf
x∈R n
[ inf
y∈R p
ˆ
L r (x, y, λ)],
on propose de définir un lagrangien augmenté directement associé à (Q) en
posant :
L r : (x, λ) ∈ R
n
× R
p
−→ L r (x, λ) := inf
y∈R p
ˆ
L r (x, y, λ).
a) Démontrer que
L r (x, λ) = f (x) +
p
j=1
ϕ r (λ j , g j (x)),
où ϕ r : (α, t) ∈ R × R −→ ϕ r (α, t) :=
1
2r
[max {0, α + rt}]
2
− α 2
.
b) – Déduire du comportement de ϕ r (α, t), lorsque r → 0 + , ce que devient
L r (x, λ) quand r → 0 + .
– Donner quelques premiers éléments de comparaison entre la fonction
duale Θ r dérivée de L r et la fonction duale usuelle Θ.
c) Quelles propriétés de L r peut-on déduire des hypothèses du type convexité
ou différentiabilité des données du problème (Q) ?
Commentaire :
– Le plongement d’un problème d’optimisation avec contraintes du type inégalité dans un problème d’optimisation avec contraintes du type égalité (en ajoutant
des variables d’écart) a déjà été considéré dans l’Exercice III.28.
– Concernant l’apport et l’interêt du lagrangien augmenté dans un contexte
particulier, on pourra « boucler » sur la partie B du problème I.18.
Solution : 1 ◦ ) a) Désignons par S l’ensemble-contrainte dans (P), c’est-à-dire
S := {x ∈ R
n
| h 1 (x) = 0, . . . , h m (x) = 0} .
Il est évident que f r (x) = f (x) pour tout x ∈ S. Donc le problème de la
minimisation (locale, resp. globale) de f r sur S est équivalent à celui de la
minimisation (locale, resp. globale) de f sur S.
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Soit ˆ
L r : ((x, y), λ) ∈ (R n × R p ) × R p −→ ˆ
L r (x, y, λ) le lagrangien augmenté
associé à ( ˆ
Q) suivant la définition (4.5) . Comme l’expression de la fonction duale
dérivée de ˆ
L r conduit à calculer
λ ∈ R
p
−→
inf
(x,y)∈R n ×R p
ˆ
L r (x, y, λ) = inf
x∈R n
[ inf
y∈R p
ˆ
L r (x, y, λ)],
on propose de définir un lagrangien augmenté directement associé à (Q) en
posant :
L r : (x, λ) ∈ R
n
× R
p
−→ L r (x, λ) := inf
y∈R p
ˆ
L r (x, y, λ).
a) Démontrer que
L r (x, λ) = f (x) +
p
j=1
ϕ r (λ j , g j (x)),
où ϕ r : (α, t) ∈ R × R −→ ϕ r (α, t) :=
1
2r
[max {0, α + rt}]
2
− α 2
.
b) – Déduire du comportement de ϕ r (α, t), lorsque r → 0 + , ce que devient
L r (x, λ) quand r → 0 + .
– Donner quelques premiers éléments de comparaison entre la fonction
duale Θ r dérivée de L r et la fonction duale usuelle Θ.
c) Quelles propriétés de L r peut-on déduire des hypothèses du type convexité
ou différentiabilité des données du problème (Q) ?
Commentaire :
– Le plongement d’un problème d’optimisation avec contraintes du type inégalité dans un problème d’optimisation avec contraintes du type égalité (en ajoutant
des variables d’écart) a déjà été considéré dans l’Exercice III.28.
– Concernant l’apport et l’interêt du lagrangien augmenté dans un contexte
particulier, on pourra « boucler » sur la partie B du problème I.18.
Solution : 1 ◦ ) a) Désignons par S l’ensemble-contrainte dans (P), c’est-à-dire
S := {x ∈ R
n
| h 1 (x) = 0, . . . , h m (x) = 0} .
Il est évident que f r (x) = f (x) pour tout x ∈ S. Donc le problème de la
minimisation (locale, resp. globale) de f r sur S est équivalent à celui de la
minimisation (locale, resp. globale) de f sur S.
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