Chapitre IV. Mini-maximisation. Dualisation de problèmes...
c) La fonction x ∈ R n −→ f (x) +
p
j=1
μ α
j g j (x) est convexe et différentiable
sur R n . Comme ∇f (x α ) +
p
j=1
μ α
j ∇g j (x α ) = 0, le point x α minimise bien
f +
p
j=1
μ α
j g j sur R n .
Ainsi ψ (μ α ) := inf x∈R n
f (x) +
p
j=1
μ α
j g j (x)
> −∞.
On a :
f (x α ) f = inf
x∈C
f (x) = sup
μ∈(R + )
p
ψ (μ) ψ (μ
α ) ,
et
ψ (μ
α ) = f (x α ) +
p
j=1
μ
α
j g j (x α ) = f (x α ) +
p
j=1
−
1
α
puisque μ α
j =
−1
αg j (xα) pour tout j = 1, . . . , p.
d) ϕ α joue le rôle de fonction-barrière (ou de fonction pénalisée par l’intérieur) réglée par le paramètre α > 0.
α −→ x α est un « chemin central » dont on espère qu’il nous conduira à
une solution x de (P) lorsque α → +∞.
La recherche de x α est un problème de minimisation sans contraintes, et
on peut envisager de trouver x α en résolvant le système d’optimalité (4.4) (par
une méthode de Newton par exemple).
L’encadrement f (x α ) f f (x α ) −
p
α est fort utile pour gérer un test
d’arrêt sur l’incrémentation en α.
On peut aussi voir x α comme résultat d’une perturbation ad hoc des conditions de minimalité. En effet :
(x est solution de (P)) ⇔
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
x ∈ C et il existe μ ∈ (R + )
p tel que :
∇f (x) +
p
j=1
μ j ∇g j (x) = 0 ;
μ j g j (x) = 0 pour tout j = 1, . . . , p
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
,
alors que x α est caractérisé par
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
x α ∈ C et il existe μ α ∈ (R + )
p tel que :
∇f (x α ) +
p
j=1
μ α
j ∇g j (x α ) = 0 ;
μ α
j g j (x α ) = −
1
α pour tout j = 1, . . . , p.
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
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