IV.3. Premiers pas dans la théorie de la dualité
soit encore
μ ∈
R
+
m ,
AM
−1 A
μ + AM
−1 q − b ∈
R
+
m
et
AM
−1 A
μ + AM
−1 q − b, μ
= 0.
(iii) Si m n et A est surjective, alors A est injective de sorte que
AM −1 A est définie positive. En effet
AM
−1 A
y, y
=
M
−1
A
y
,
A
y
0
et
AM
−1 A
y, y
= 0
⇔
A
y = 0
⇔ (y = 0) .
Alors, (D) a une et une seule solution μ.
Cela se voit aussi à partir de (1) : les solutions μ de (D) sont les multiplicateurs de (P), ils vérifient (1) et (2) ; de (1) on tire
A
μ = −M x − q.
Un tel μ – dont on est assuré de l’existence – est unique.
(iv) Connaissant une solution μ de (D), la solution de (P) est le point minimisant L(·, μ) sur R n , i.e. x (μ) . Il n’y a pas lieu de distinguer les minima
de L(·, μ) qui sont admissibles et ceux qui ne le sont pas : x (μ) est forcément
admissible.
* Exercice IV.10. Données :
A 0 symétrique définie positive, A 1 , . . . , A m symétriques semi-définies positives ; b 0 , b 1 , . . . , b m dans R n ; c 0 , c 1 , . . . , c m dans R.
On considère le problème d’optimisation suivant :
(P)
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
Minimiser f (x) :=
1
2 A 0 x, x + b 0 , x + c 0
sous les contraintes
g j (x) :=
1
2 A j x, x + b j , x + c j 0, j = 1, . . . , m.
1 ◦ ) Quelles propriétés de (P), utiles pour sa résolution, peut-on noter ?
151
soit encore
μ ∈
R
+
m ,
AM
−1 A
μ + AM
−1 q − b ∈
R
+
m
et
AM
−1 A
μ + AM
−1 q − b, μ
= 0.
(iii) Si m n et A est surjective, alors A est injective de sorte que
AM −1 A est définie positive. En effet
AM
−1 A
y, y
=
M
−1
A
y
,
A
y
0
et
AM
−1 A
y, y
= 0
⇔
A
y = 0
⇔ (y = 0) .
Alors, (D) a une et une seule solution μ.
Cela se voit aussi à partir de (1) : les solutions μ de (D) sont les multiplicateurs de (P), ils vérifient (1) et (2) ; de (1) on tire
A
μ = −M x − q.
Un tel μ – dont on est assuré de l’existence – est unique.
(iv) Connaissant une solution μ de (D), la solution de (P) est le point minimisant L(·, μ) sur R n , i.e. x (μ) . Il n’y a pas lieu de distinguer les minima
de L(·, μ) qui sont admissibles et ceux qui ne le sont pas : x (μ) est forcément
admissible.
* Exercice IV.10. Données :
A 0 symétrique définie positive, A 1 , . . . , A m symétriques semi-définies positives ; b 0 , b 1 , . . . , b m dans R n ; c 0 , c 1 , . . . , c m dans R.
On considère le problème d’optimisation suivant :
(P)
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
Minimiser f (x) :=
1
2 A 0 x, x + b 0 , x + c 0
sous les contraintes
g j (x) :=
1
2 A j x, x + b j , x + c j 0, j = 1, . . . , m.
1 ◦ ) Quelles propriétés de (P), utiles pour sa résolution, peut-on noter ?
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