IV.3. Premiers pas dans la théorie de la dualité
** Exercice IV.8. a 1 , . . . , a n , b 1 , . . . , b n étant des réels (fixés) tous strictement
positifs, on pose f : x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n −→ f (x) :=
n
i=1
a i
1+x i
et
C :=
x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R
n
| x i 0 pour tout i = 1, . . . , n et
n
i=1
b i x i = 1
.
On considère le problème d’optimisation suivant :
(P)
Minimiser f (x)
x ∈ C.
1 ◦ ) a) Quelles propriétés de (P), utiles pour sa résolution, peut-on observer ?
Quelles conséquences peut-on en tirer quant à l’existence et l’unicité des
solutions de (P) ?
b) Montrer que x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ C est solution de (P) si et seulement
si on a la propriété suivante :
Il existe un réel λ tel que
−
a i
(1 + x i )
2 + λb i = 0 pour tout i tel que x i > 0,
−a i + λb i 0 pour tout i tel que x i = 0.
2 ◦ ) On considère le lagrangien usuel
L : (x, λ) ∈
R
+
n × R −→ L(x, λ) = f (x) + λ
n
i=1
b i x i − 1
et la fonction duale ψ associée, i.e.
∀λ ∈ R, ψ (λ) = inf
x∈(R + )
n
L(x, λ).
a) Vérifier que ψ (λ) = −∞ si λ < 0, et que pour tout λ > 0 il existe un et
un seul x (λ) minimisant L(·, λ) sur (R + )
n .
En utilisant la caractérisation de x (λ) fournie par les conditions nécessaires
et suffisantes d’optimalité, montrer que :
∀λ 0, ψ (λ) =
n
i=1
a i
1 +
b i λ
a i
− 1
1 −
b i λ
a i
+
− λ.
b) En étudiant les propriétés de ψ sur R + (notamment sa dérivabilité) montrer qu’il existe un et un seul λ > 0 maximisant ψ sur R + .
Exprimer alors les coordonnées x i de la solution (P) en fonction de λ et
a 1 , . . . , a n , b 1 , . . . , b n .
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** Exercice IV.8. a 1 , . . . , a n , b 1 , . . . , b n étant des réels (fixés) tous strictement
positifs, on pose f : x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n −→ f (x) :=
n
i=1
a i
1+x i
et
C :=
x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R
n
| x i 0 pour tout i = 1, . . . , n et
n
i=1
b i x i = 1
.
On considère le problème d’optimisation suivant :
(P)
Minimiser f (x)
x ∈ C.
1 ◦ ) a) Quelles propriétés de (P), utiles pour sa résolution, peut-on observer ?
Quelles conséquences peut-on en tirer quant à l’existence et l’unicité des
solutions de (P) ?
b) Montrer que x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ C est solution de (P) si et seulement
si on a la propriété suivante :
Il existe un réel λ tel que
−
a i
(1 + x i )
2 + λb i = 0 pour tout i tel que x i > 0,
−a i + λb i 0 pour tout i tel que x i = 0.
2 ◦ ) On considère le lagrangien usuel
L : (x, λ) ∈
R
+
n × R −→ L(x, λ) = f (x) + λ
n
i=1
b i x i − 1
et la fonction duale ψ associée, i.e.
∀λ ∈ R, ψ (λ) = inf
x∈(R + )
n
L(x, λ).
a) Vérifier que ψ (λ) = −∞ si λ < 0, et que pour tout λ > 0 il existe un et
un seul x (λ) minimisant L(·, λ) sur (R + )
n .
En utilisant la caractérisation de x (λ) fournie par les conditions nécessaires
et suffisantes d’optimalité, montrer que :
∀λ 0, ψ (λ) =
n
i=1
a i
1 +
b i λ
a i
− 1
1 −
b i λ
a i
+
− λ.
b) En étudiant les propriétés de ψ sur R + (notamment sa dérivabilité) montrer qu’il existe un et un seul λ > 0 maximisant ψ sur R + .
Exprimer alors les coordonnées x i de la solution (P) en fonction de λ et
a 1 , . . . , a n , b 1 , . . . , b n .
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