Chapitre IV. Mini-maximisation. Dualisation de problèmes...
Par suite, on obtient par de simples calculs
L (x (μ) , μ) = −ln
n
i=1
r i e
−(A μ) i + μ,c
= ψ (μ) .
Une forme équivalente du problème dual (D) de (P) est donc :
(D)
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
Minimiser
n
i=1
r i e
−(A μ) i + μ,c
sur le cône (R + )
m .
** Exercice IV.7. Problème de minimisation de J. Gibbs :
Soit f : x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n −→ f (x) :=
n
i=1
f i (x i ), où les n fonctions f i :
R → R sont supposées dérivables sur R. On considère le problème d’optimisation
suivant :
(P)
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
Minimiser f (x)
sous les contraintes : x i 0 pour tout i = 1, . . . , n et
n
i=1
x i = 1.
1 ◦ ) a) Le problème (P) a-t-il des solutions ?
b) Est-il licite de dire qu’un point solution de (P) vérifie les conditions
nécessaires de minimalité du premier ordre de Karush-Kuhn-Tucker ?
c) Montrer que si x est une solution de (P), il existe alors un réel λ tel
que :
f
i (x i ) + λ = 0 pour les i tels que x i > 0,
f
i (x i ) + λ 0 pour les i tels que x i = 0.
d) Sous quelle hypothèse additionnelle les conditions précédentes
caractérisent-elles les solutions de (P) ?
2 ◦ ) a 1 , . . . , a n , b 1 , . . . , b n étant des réels (fixés) tous strictement positifs, on
pose ici : f i (x i ) = a i (e −b i x i − 1) pour tout i = 1, . . . , n.
On considère le lagrangien usuel
L : (x, λ) ∈
R
+
n × R −→ L(x, λ) =
n
i=1
f i (x i ) + λ
n
i=1
x i − 1
140
Par suite, on obtient par de simples calculs
L (x (μ) , μ) = −ln
n
i=1
r i e
−(A μ) i + μ,c
= ψ (μ) .
Une forme équivalente du problème dual (D) de (P) est donc :
(D)
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
Minimiser
n
i=1
r i e
−(A μ) i + μ,c
sur le cône (R + )
m .
** Exercice IV.7. Problème de minimisation de J. Gibbs :
Soit f : x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n −→ f (x) :=
n
i=1
f i (x i ), où les n fonctions f i :
R → R sont supposées dérivables sur R. On considère le problème d’optimisation
suivant :
(P)
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
Minimiser f (x)
sous les contraintes : x i 0 pour tout i = 1, . . . , n et
n
i=1
x i = 1.
1 ◦ ) a) Le problème (P) a-t-il des solutions ?
b) Est-il licite de dire qu’un point solution de (P) vérifie les conditions
nécessaires de minimalité du premier ordre de Karush-Kuhn-Tucker ?
c) Montrer que si x est une solution de (P), il existe alors un réel λ tel
que :
f
i (x i ) + λ = 0 pour les i tels que x i > 0,
f
i (x i ) + λ 0 pour les i tels que x i = 0.
d) Sous quelle hypothèse additionnelle les conditions précédentes
caractérisent-elles les solutions de (P) ?
2 ◦ ) a 1 , . . . , a n , b 1 , . . . , b n étant des réels (fixés) tous strictement positifs, on
pose ici : f i (x i ) = a i (e −b i x i − 1) pour tout i = 1, . . . , n.
On considère le lagrangien usuel
L : (x, λ) ∈
R
+
n × R −→ L(x, λ) =
n
i=1
f i (x i ) + λ
n
i=1
x i − 1
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