IV.3. Premiers pas dans la théorie de la dualité
Nous sommes plus particulièrement intéressés, ici, par les points-selles du lagrangien (usuel) sur R n ×
R m × (R + )
p
; les données sont donc les suivantes :
X = R
n , Y = R
m
×
R
+
p ,
L : (x, (λ, μ)) ∈ X × Y −→ L (x, λ, μ) = f (x) +
m
i=1
λ i h i (x) +
p
j=1
μ j g j (x).
Th´ eor` eme. Les points-selles de L sur R n ×
R m × (R + )
p
sont exactement les
x,
λ, μ
tels que :
(i) x minimise L
·,
λ, μ
sur R n ;
(ii) x ∈ C ;
(iii) μ j g j (x) = 0 pour tout j = 1, . . . , p.
En particulier, si
x,
λ, μ
est un point-selle de L sur R n ×
R m × (R + )
p
,alors x est une solution du problème (P).
Supposons maintenant que (P) soit un problème de minimisation convexe : f
et les g j sont convexes, les h i sont affines.
Th´ eor` eme. Sous les hypothèses de convexité décrites ci-dessus, les deux énoncés
suivants sont équivalents :
(i)
x,
λ, μ
est un point-selle de L sur R n ×
R m × (R + )
p
;
(ii) x est solution de (P) et
λ, μ
est un multiplicateur de Lagrange.
Dans tous les exercices considérés dans ce chapitre, le problème de minimisation convexe (P) aura des solutions (l’ensemble S des solutions de (P) ne sera
pas vide), et des hypothèses de qualification des contraintes seront faites pour
qu’il y ait des multiplicateurs de Lagrange (l’ensemble M des multiplicateurs de
Lagrange ne sera pas vide). Donc l’ensemble des points-selles du lagrangien L sur
R n ×
R m × (R + )
p
sera le produit cartésien des deux convexes fermés S et M.
IV.3. Premiers pas dans la théorie de la dualité
Revenons au problème de minimisation (P) et au lagrangien L qui lui est
associé, et voyons ce que sont alors les problèmes de mini-maximisation introduits
au premier paragraphe. Le premier problème de mini-maximisation est celui de
la minimisation sur R n de
x −→ ϕ(x) :=
sup
(λ,μ)∈R m ×(R + )
p
L (x, λ, μ) .
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