Exemple 3. Dans le groupe S 6 , posons s = (2 3 4) et s
= (1 2). La composée
ss
est déterminée par
ss
:
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
1
s
−→ 2
s
−→ 3
3
s
−→ 3
s
−→ 4
4
s
−→ 4
s
−→ 2
2
s
−→ 1
s
−→ 1
et ss
(k) = k si k ∈ {1, 2, 3, 4}.
On a donc ss
= (1 3 4 2).
Exemple 4. Soit c = (a 1 a 2 · · · a p ) un p-cycle appartenant à S n et soit s une permutation de {1, 2, . . . , n}. Montrons que la permutation sc(s
−1 ) est égale au p-cycle
s(a 1 ) s(a 2 ) · · · s(a p )
.
La permutation c
= sc(s
−1 ) se déduit de c par le changement de référentiel s (page
24). Elle est définie par les relations
c
s(a i )
= s
c(a i )
=
s(a i+1 ) si 1 i < p
s(a 1 )
si i = p,
donc c
permute circulairement les entiers s(a 1 ), s(a 2 ), . . . , s(a p ) et laisse fixe les autres.
Remarque
Soit s une permutation de E . L’opération qui transforme une permutation f de E en
sf s
−1 est un changement de référentiel très utilisé dans les calculs. On a notamment
la propriété suivante :
si f et g sont des permutations de E , alors s(fg)s
−1 = (sf s
−1 )(sgs
−1 ).
En effet, on a (sf s
−1 )(sgs
−1 ) = sf (s
−1 s)gs
−1 = sf id E gs
−1 = s(fg)s
−1 .
En général, pour calculer le composé ss
de deux permutations, il faut tenir compte
de l’ordre des facteurs : pour tout élément i, on obtient (ss
)(i) = s ◦ s
(i) en transformant d’abord i par s
, puis en appliquant s. Voici un cas important où l’ordre
des facteurs n’a pas d’importance.
Proposition. Si c 1 et c 2 sont des cycles dont les supports n’ont aucun élément en
commun, alors c 1 c 2 = c 2 c 1 .
Démonstration. Posons c 1 = (a 1 a 2 · · · a p ). D’après l’exemple 4, nous avons l’égalité
c 2 c 1 c
−1
2 =
c 2 (a 1 ) c 2 (a 2 ) . . . c 2 (a p )
. Par hypothèse, aucun des a i n’est dans le support de c 2 ,
donc c 2 (a i ) = a i . Il vient donc c 2 c 1 c
−1
2 = c 1 , d’où c 2 c 1 = c 1 c 2 en composant à droite avec c 2 .
2.2 Décomposition en cycles
Soit s une permutation de E = {1, 2, . . . , n} et soit a 0 ∈ E .
Pour tout entier i0, posons a i =s
i (a 0 ), de sorte que les itérés de a 0 sont a 0 ,a 1 ,a 2 ,. . ..
Puisque ces itérés appartiennent à l’ensemble fini {1, 2, . . . , n}, on peut trouver deux
72 – PERMUTATIONS
= (1 2). La composée
ss
est déterminée par
ss
:
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
1
s
−→ 2
s
−→ 3
3
s
−→ 3
s
−→ 4
4
s
−→ 4
s
−→ 2
2
s
−→ 1
s
−→ 1
et ss
(k) = k si k ∈ {1, 2, 3, 4}.
On a donc ss
= (1 3 4 2).
Exemple 4. Soit c = (a 1 a 2 · · · a p ) un p-cycle appartenant à S n et soit s une permutation de {1, 2, . . . , n}. Montrons que la permutation sc(s
−1 ) est égale au p-cycle
s(a 1 ) s(a 2 ) · · · s(a p )
.
La permutation c
= sc(s
−1 ) se déduit de c par le changement de référentiel s (page
24). Elle est définie par les relations
c
s(a i )
= s
c(a i )
=
s(a i+1 ) si 1 i < p
s(a 1 )
si i = p,
donc c
permute circulairement les entiers s(a 1 ), s(a 2 ), . . . , s(a p ) et laisse fixe les autres.
Remarque
Soit s une permutation de E . L’opération qui transforme une permutation f de E en
sf s
−1 est un changement de référentiel très utilisé dans les calculs. On a notamment
la propriété suivante :
si f et g sont des permutations de E , alors s(fg)s
−1 = (sf s
−1 )(sgs
−1 ).
En effet, on a (sf s
−1 )(sgs
−1 ) = sf (s
−1 s)gs
−1 = sf id E gs
−1 = s(fg)s
−1 .
En général, pour calculer le composé ss
de deux permutations, il faut tenir compte
de l’ordre des facteurs : pour tout élément i, on obtient (ss
)(i) = s ◦ s
(i) en transformant d’abord i par s
, puis en appliquant s. Voici un cas important où l’ordre
des facteurs n’a pas d’importance.
Proposition. Si c 1 et c 2 sont des cycles dont les supports n’ont aucun élément en
commun, alors c 1 c 2 = c 2 c 1 .
Démonstration. Posons c 1 = (a 1 a 2 · · · a p ). D’après l’exemple 4, nous avons l’égalité
c 2 c 1 c
−1
2 =
c 2 (a 1 ) c 2 (a 2 ) . . . c 2 (a p )
. Par hypothèse, aucun des a i n’est dans le support de c 2 ,
donc c 2 (a i ) = a i . Il vient donc c 2 c 1 c
−1
2 = c 1 , d’où c 2 c 1 = c 1 c 2 en composant à droite avec c 2 .
2.2 Décomposition en cycles
Soit s une permutation de E = {1, 2, . . . , n} et soit a 0 ∈ E .
Pour tout entier i0, posons a i =s
i (a 0 ), de sorte que les itérés de a 0 sont a 0 ,a 1 ,a 2 ,. . ..
Puisque ces itérés appartiennent à l’ensemble fini {1, 2, . . . , n}, on peut trouver deux
72 – PERMUTATIONS