p! p-arrangements formés avec les éléments de A. Comme le nombre de p-arrangements de
E est
n!
(n−p)!
, on en déduit qu’il y a 1
p!
n!
(n−p)!
parties de E à p éléments.
Définition
Soit n un entier positif ou nul et soit p un entier relatif. Si 0pn, l’entier
n!
p!(n−p)!
s’appelle un nombre binomial et se note
n
p
. Si p < 0 ou si p > n, on pose
n
p
= 0.
® On a
n
0
=
n
n
= 1 et
n
1
=
n
n−1
= n, car dans un ensemble E à n éléments,
l’unique partie à 0 éléments est l’ensemble vide, l’unique partie à n éléments est
E lui-même et il y a n parties à 1 élément.
® On a
n
p
=
n
n−p
: en effet, si à toute partie A de E on associe son complémentaire
E \ A, on réalise une bijection entre les parties à p éléments et les parties à n − p
éléments.
Nous avons montré dans le premier paragraphe qu’un ensemble à n éléments possède
2
n parties. On a donc l’égalité
n
0
+
n
1
+ · · · +
n
n−1
+
n
n
= 2
n
Voici une importante propriété des coefficients binomiaux ; elle se vérifie par simple
calcul à partir de la définition.
Proposition. Pour tous entiers n 1 et p ∈ Z, on a
n
p
=
n−1
p
+
n−1
p−1
.
Formule du binôme de Newton. Soient a et b des nombres réels ou complexes,
ou bien des polynômes à coefficients réels ou complexes. Pour tout entier n 2, on a l’égalité
(a + b)
n = a
n +
n
1
a
n−1 b +
n
2
a
n−2 b
2 + · · · +
n
k
a
n−k b
k + · · · +
n
n−1
ab
n−1 + b
n .
® Pour n = 2, on retrouve la formule connue (a + b)
2 = a
2 +
2
1
ab + b
2 = a
2 + 2ab + b
2 .
® On a
3
1
=
3
2
= 3, d’où (a + b)
3 = a
3 + 3a
2 b + 3ab
2 + b
3 , formule qu’il est bon de
connaître.
® On a de même
4
1
=
4
3
=4 et
4
2
=
4 × 3
2
=6, donc (a+b)
4 =a
4 +4a
3 b+6a
2 b
2 +4ab
3 +b
4 .
Démonstration. Développons le produit (a + b)
n = (a + b)(a + b) · · · (a + b)
n facteurs
en une somme
de termes. Un terme quelconque du développement s’obtient en choisissant, dans chaque facteur (a + b), l’un des nombres a ou b et en faisant le produit : si l’on choisit le terme a dans
k des facteurs, on obtient le terme a
k b
n−k dans le développement. Pour tout entier k compris
entre 0 et n, il y a
n
k
façons de choisir k facteurs parmi n, donc
n
k
termes a
k b
n−k dans
le développement de (a + b)
n . Le produit (a + b)
n est donc égal à la somme des
n
k
a
k b
n−k ,
où k parcourt les entiers compris entre 0 et n. Si k = 0, on a
n
k
a
k b
n−k =
n
0
a
0 b
n = b
n ,
Chapitre 3 – D ´
ENOMBREMENT, PERMUTATIONS, GRAPHES – 61
E est
n!
(n−p)!
, on en déduit qu’il y a 1
p!
n!
(n−p)!
parties de E à p éléments.
Définition
Soit n un entier positif ou nul et soit p un entier relatif. Si 0pn, l’entier
n!
p!(n−p)!
s’appelle un nombre binomial et se note
n
p
. Si p < 0 ou si p > n, on pose
n
p
= 0.
® On a
n
0
=
n
n
= 1 et
n
1
=
n
n−1
= n, car dans un ensemble E à n éléments,
l’unique partie à 0 éléments est l’ensemble vide, l’unique partie à n éléments est
E lui-même et il y a n parties à 1 élément.
® On a
n
p
=
n
n−p
: en effet, si à toute partie A de E on associe son complémentaire
E \ A, on réalise une bijection entre les parties à p éléments et les parties à n − p
éléments.
Nous avons montré dans le premier paragraphe qu’un ensemble à n éléments possède
2
n parties. On a donc l’égalité
n
0
+
n
1
+ · · · +
n
n−1
+
n
n
= 2
n
Voici une importante propriété des coefficients binomiaux ; elle se vérifie par simple
calcul à partir de la définition.
Proposition. Pour tous entiers n 1 et p ∈ Z, on a
n
p
=
n−1
p
+
n−1
p−1
.
Formule du binôme de Newton. Soient a et b des nombres réels ou complexes,
ou bien des polynômes à coefficients réels ou complexes. Pour tout entier n 2, on a l’égalité
(a + b)
n = a
n +
n
1
a
n−1 b +
n
2
a
n−2 b
2 + · · · +
n
k
a
n−k b
k + · · · +
n
n−1
ab
n−1 + b
n .
® Pour n = 2, on retrouve la formule connue (a + b)
2 = a
2 +
2
1
ab + b
2 = a
2 + 2ab + b
2 .
® On a
3
1
=
3
2
= 3, d’où (a + b)
3 = a
3 + 3a
2 b + 3ab
2 + b
3 , formule qu’il est bon de
connaître.
® On a de même
4
1
=
4
3
=4 et
4
2
=
4 × 3
2
=6, donc (a+b)
4 =a
4 +4a
3 b+6a
2 b
2 +4ab
3 +b
4 .
Démonstration. Développons le produit (a + b)
n = (a + b)(a + b) · · · (a + b)
n facteurs
en une somme
de termes. Un terme quelconque du développement s’obtient en choisissant, dans chaque facteur (a + b), l’un des nombres a ou b et en faisant le produit : si l’on choisit le terme a dans
k des facteurs, on obtient le terme a
k b
n−k dans le développement. Pour tout entier k compris
entre 0 et n, il y a
n
k
façons de choisir k facteurs parmi n, donc
n
k
termes a
k b
n−k dans
le développement de (a + b)
n . Le produit (a + b)
n est donc égal à la somme des
n
k
a
k b
n−k ,
où k parcourt les entiers compris entre 0 et n. Si k = 0, on a
n
k
a
k b
n−k =
n
0
a
0 b
n = b
n ,
Chapitre 3 – D ´
ENOMBREMENT, PERMUTATIONS, GRAPHES – 61