Exercices
1
@ . Un photocopieur est mis à la disposition de n personnes (n 200). Chaque utilisateur
possède un code personnel à quatre chiffres permettant d’activer le photocopieur.
a) Combien y a-t-il de codes possibles ? Combien sont actifs ?
b) Le nombre d’essais pour rentrer un code est limité à trois. On rentre un code
au hasard ; s’il n’est pas bon, on en rentre un deuxième et éventuellement un
troisième. Quelle est la probabilité p pour qu’on active ainsi le photocopieur ? (on
pourra chercher la probabilité q = 1−p pour que les trois essais soient infructueux).
c) Posons x =10
−4 n. Montrer que l’on a 3x(1−x) p
3x
1 − 2 10
−4
. On veut que la probabilité p reste inférieure à 5% : estimer le nombre d’utilisateurs à ne pas dépasser.
2. Un événement se produit avec la probabilité 0,25. On veut réaliser une suite
d’épreuves indépendantes où l’on a neuf chances sur dix que l’événement se produise entre vingt et trente fois sur cent. Combien d’épreuves suffit-il de faire ?
3
@ . Estimation asymptotique d'un indice de dispersion. Pour quantifier la dispersion d’une
variable aléatoire X , il est naturel de prendre l’espérance d de la variable aléatoire
|X − E| (bien qu’on préfère plutôt choisir l’écart-type qui se comporte mieux dans
les calculs). Supposons que X est le nombre de fois qu’un événement de probabilité p se produit au cours d’une suite de n épreuves indépendantes, autrement
dit, X suit une loi binomiale : la probabilité que l’événement survienne k fois en
n épreuves est P (k) =
n
k
p
k (1 − p)
n−k . On suppose n = 2N et p = 1/2.
a) Montrer que l’on a d =
n
k=0 |k−N |P (k) et que l’écart-type de X est σ =
N/2.
b) En admettant l’égalité
N
k=0 (N −k)
2N
k
= N
2
2N
N
, démontrer que d = N
2
2N
(2N )!
(N !)
2
.
c) Quand N tend vers l’infini, on a N !∼N
N e
−N
√
2πN (formule de Stirling). Montrer
que d/σ tend vers
2/π quand N tend vers l’infini.
4. On repère les points de l’espace par des coordonnées cartésiennes. Les points à coordonnées entières sont les sommets de parallélépipèdes à arêtes parallèles aux axes.
Comme pour un quadrillage dans le plan, considérons les chemins formés d’arêtes
orientées dans le sens des coordonnées croissantes. Si p, q, r sont des entiers positifs,
montrer qu’il y a
(p + q + r)!
p! q! r!
chemins joignant l’origine au point de coordonnées
(p, q, r).
5
@ . Soient n, a, b des entiers positifs ou nuls. On cherche le nombre N de solutions (x,y,z)
de l’équation x + y + z = n, où x, y, z sont des entiers positifs vérifiant 1 x a et
1 y b. On pose S = {(x,y,z) | x, y, z entiers, x 1, y 1, z 1, x + y + z = n},
A = {(x, y, z) ∈ S | x > a}, B = {(x, y, z) ∈ S | y > b} .
96 – EXERCICES
1
@ . Un photocopieur est mis à la disposition de n personnes (n 200). Chaque utilisateur
possède un code personnel à quatre chiffres permettant d’activer le photocopieur.
a) Combien y a-t-il de codes possibles ? Combien sont actifs ?
b) Le nombre d’essais pour rentrer un code est limité à trois. On rentre un code
au hasard ; s’il n’est pas bon, on en rentre un deuxième et éventuellement un
troisième. Quelle est la probabilité p pour qu’on active ainsi le photocopieur ? (on
pourra chercher la probabilité q = 1−p pour que les trois essais soient infructueux).
c) Posons x =10
−4 n. Montrer que l’on a 3x(1−x) p
3x
1 − 2 10
−4
. On veut que la probabilité p reste inférieure à 5% : estimer le nombre d’utilisateurs à ne pas dépasser.
2. Un événement se produit avec la probabilité 0,25. On veut réaliser une suite
d’épreuves indépendantes où l’on a neuf chances sur dix que l’événement se produise entre vingt et trente fois sur cent. Combien d’épreuves suffit-il de faire ?
3
@ . Estimation asymptotique d'un indice de dispersion. Pour quantifier la dispersion d’une
variable aléatoire X , il est naturel de prendre l’espérance d de la variable aléatoire
|X − E| (bien qu’on préfère plutôt choisir l’écart-type qui se comporte mieux dans
les calculs). Supposons que X est le nombre de fois qu’un événement de probabilité p se produit au cours d’une suite de n épreuves indépendantes, autrement
dit, X suit une loi binomiale : la probabilité que l’événement survienne k fois en
n épreuves est P (k) =
n
k
p
k (1 − p)
n−k . On suppose n = 2N et p = 1/2.
a) Montrer que l’on a d =
n
k=0 |k−N |P (k) et que l’écart-type de X est σ =
N/2.
b) En admettant l’égalité
N
k=0 (N −k)
2N
k
= N
2
2N
N
, démontrer que d = N
2
2N
(2N )!
(N !)
2
.
c) Quand N tend vers l’infini, on a N !∼N
N e
−N
√
2πN (formule de Stirling). Montrer
que d/σ tend vers
2/π quand N tend vers l’infini.
4. On repère les points de l’espace par des coordonnées cartésiennes. Les points à coordonnées entières sont les sommets de parallélépipèdes à arêtes parallèles aux axes.
Comme pour un quadrillage dans le plan, considérons les chemins formés d’arêtes
orientées dans le sens des coordonnées croissantes. Si p, q, r sont des entiers positifs,
montrer qu’il y a
(p + q + r)!
p! q! r!
chemins joignant l’origine au point de coordonnées
(p, q, r).
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@ . Soient n, a, b des entiers positifs ou nuls. On cherche le nombre N de solutions (x,y,z)
de l’équation x + y + z = n, où x, y, z sont des entiers positifs vérifiant 1 x a et
1 y b. On pose S = {(x,y,z) | x, y, z entiers, x 1, y 1, z 1, x + y + z = n},
A = {(x, y, z) ∈ S | x > a}, B = {(x, y, z) ∈ S | y > b} .
96 – EXERCICES